Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver, usando transformada de Laplace, o problema de valor inicial
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
. - Condições iniciais
e .
Objetivo: encontrarválida para aplicando a transformada de Laplace.]
Passo 2
Rápido resumo da transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (aqui ensino como se prepara na prova):
- Definição: para uma função
de crescimento adequado, a transformada de Laplace é
- Linearidade:
. - Transformadas das derivadas (essenciais para PVI):
onde
.
- Transformada de uma exponencial conhecida:
- Teorema do deslocamento (útil depois): se
então .
Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em.
Passo 3
Aplicar
em ambos os lados da equação e usar as condições iniciais. Seja
. Tomando Laplace:
Substituindo as fórmulas das derivadas e
:
Como
e
, isso fica
Passo 4
Agrupar
e isolar:
Logo
portanto
Observação útil:
. Para inverter a transformada vamos simplificar a expressão colocando em termos de
.
Passo 5
Fazer a mudança
(facilita decomposição e uso do deslocamento). Então
e
Vamos decompor em frações parciais na variável
:
procuramos constantes tais que
procuramos constantes
Multiplicando por
obtemos a identidade polinomial
Comparando coeficientes de potências de
:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Assim, , . Logo
Passo 6
Voltar a variável
(lembrando
):
Reescrever o segundo termo separando em duas frações úteis para a inversa:
Portanto
Passo 7
Usar inversas conhecidas (e o teorema do deslocamento): para
,
Aplicando
termo a termo:
Fatorando
para deixar mais compacto:
Passo 8
Verificação rápida das condições iniciais (para ter segurança na prova):
-
, confere. - Calcular
para : usando produto,
então
, confere também. Isso dá confiança de que a solução está correta.