Calcule.
integral 3 sec ^3 x tg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 3sec^3 x,tan x,dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (u-substituição), e vamos precisar lembrar que a derivada de sec x é sec xtan x.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=sec x. Então, derivando nos dá:
du = sec xtan x,dx

Passo 3

Observe que no integrando temos 3sec^3 xtan x,dx. Podemos separar assim:
3sec^3 xtan x,dx = 3sec^2 x l(sec xtan x,dxr)

Passo 4

Dentro do parêntese está exatamente du. Além disso, sec^2 x = u^2. Portanto, a integral vira:
integral 3sec^3 xtan x,dx = integral 3u^2,du

Passo 5

Agora é uma integral de potência:
integral 3u^2,du = 3 cdot u^33 + C = u^3 + C

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável x usando u=sec x:
u^3 + C = sec^3 x + C

Resposta

sec^3 x + C

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