Obtenha as expansões em Séries de Laurent da função f(z)=1z-1-1z-2 em torno de z=1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede as expansões em séries de Laurent de f(z)=1z-1-1z-2 em torno dos pontos z=1 e z=2. Isso envolve usar séries geométricas para expandir termos como 1/(1-w) ou 1/(1+t).

Passo 2

Para a expansão em torno de z=1, definimos w=z-1. Então
f(z)=1w-1w-1=1w+11-w
E como 11-w=sumn=0^inftyw^n para |w|<1, temos
f(z)=1w+sumn=0^inftyw^n, w=z-1,;|w|<1

Passo 3

Para a expansão em torno de z=2, definimos t=z-2. Então
f(z)=11+t-1t=-1t+11+t
E como 11+t=sumn=0^infty(-1)^n t^n para |t|<1, obtemos
f(z)=-1t+sumn=0^infty(-1)^n t^n, t=z-2,;|t|<1

Resposta

Em torno de z=1 (ou seja, w=z-1, |w|<1):
f(z)=1z-1+sumn=0^infty(z-1)^n
Em torno de z=2 (ou seja, t=z-2, |t|<1):
f(z)=-1z-2+sumn=0^infty(-1)^n (z-2)^n

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