Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova pela contra-positiva (completa, com todos os passos importantes necessários):
se 3 n+2 é ímpar então n é ímpar.

Passo 1

Vamos enunciar com precisão a proposição que queremos provar, explicitando quantificadores e domínio. Seja n um número inteiro. A afirmação é:
\forall n\in\mathbb{Z},\;\bigl(3n+2\text{ é ímpar}\bigr)\;\Longrightarrow\;\bigl(n\text{ é ímpar}\bigr).éíéí

Passo 2

Para provar uma implicação da forma “se P então Q”, é muitas vezes mais direto provar sua contrapositiva, pois P\!\implies\!Q equivale logicamente a \neg Q\!\implies\!\neg P. Aqui:
P: “ 3n+2 é ímpar”
Q: “ n é ímpar”
Logo a contrapositiva é:
\forall n\in\mathbb{Z},\;\bigl(n\text{ não é ímpar}\bigr)\;\Longrightarrow\;\bigl(3n+2\text{ não é ímpar}\bigr).ãéíãéí
Dito de outro modo, se n é par então 3n+2 é par.

Passo 3

Vamos provar a contrapositiva. Suponha n par. Por definição, existe k\in\mathbb{Z} tal que
n = 2k.
Então
3n + 2 = 3\,(2k) + 2 = 6k + 2 = 2\,(3k + 1).
Como 3k+1 é inteiro, 3n+2 é um múltiplo de 2, ou seja, é par. Isso estabelece a contrapositiva: “se n é par então 3n+2 é par”.

Passo 4

Como a contrapositiva foi comprovada, concluímos que a implicação original também é verdadeira.

Resposta

A proposição formal é
\forall n\in\mathbb{Z},\;\bigl(3n+2\text{ é ímpar}\bigr)\;\Longrightarrow\;\bigl(n\text{ é ímpar}\bigr),éíéí
e a prova pela contrapositiva mostrou que ela vale para todo n\in\mathbb{Z}.

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