Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova pela contra-positiva (completa, com todos os passos importantes necessários):
se
é ímpar então
é ímpar.
se
Passo 1
Vamos enunciar com precisão a proposição que queremos provar, explicitando quantificadores e domínio. Seja
um número inteiro. A afirmação é:
Passo 2
Para provar uma implicação da forma “se
então
”, é muitas vezes mais direto provar sua contrapositiva, pois
equivale logicamente a
. Aqui:
: “
é ímpar”
: “
é ímpar”
Logo a contrapositiva é:
Logo a contrapositiva é:
Dito de outro modo, se
é par então
é par.
Passo 3
Vamos provar a contrapositiva. Suponha
par. Por definição, existe
tal que
Então
Como
é inteiro,
é um múltiplo de
, ou seja, é par. Isso estabelece a contrapositiva: “se
é par então
é par”.
Passo 4
Como a contrapositiva foi comprovada, concluímos que a implicação original também é verdadeira.
Resposta
A proposição formal é
e a prova pela contrapositiva mostrou que ela vale para todo
.