Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova pela contra-positiva (completa, com todos os passos importantes necessários):
se c^{5}+7 é par, então c é ímpar.

Passo 1

Vamos enunciar a proposição de modo preciso, indicando domínio, quantificadores e definição de par/ímpar. Seja o domínio dos inteiros \mathbb{Z}. Definimos
– “ c^5+7 é par” como “ \exists k\in\mathbb{Z} tal que c^5 + 7 = 2k”.
– “ c é ímpar” como “ \exists n\in\mathbb{Z} tal que c = 2n+1”.
Então a proposição é:
\forall c\in\mathbb{Z},\;\bigl(\exists k\in\mathbb{Z}:\;c^5+7=2k\bigr) \;\Longrightarrow\; \bigl(\exists n\in\mathbb{Z}:\;c=2n+1\bigr).

Passo 2

Para provar por contra-positiva, escrevemos a afirmação equivalente:
\forall c\in\mathbb{Z},\; \neg\bigl(\exists n:\;c=2n+1\bigr) \;\Longrightarrow\; \neg\bigl(\exists k:\;c^5+7=2k\bigr).
Como “ \neg(\exists n:\;c=2n+1)” é “ c é par” e “ \neg(\exists k:\;c^5+7=2k)” é “ c^5+7 é ímpar”, a contra-positiva fica:
\forall c\in\mathbb{Z},\;\bigl(c\text{ é par}\bigr)\;\Longrightarrow\;\bigl(c^5+7\text{ é ímpar}\bigr).ééí

Passo 3

Prova da contra-positiva. Seja c\in\mathbb{Z} e suponha que c é par. Então
\exists m\in\mathbb{Z}:\;c = 2m.
Eleve ao quinto:
c^5 = (2m)^5 = 2\bigl(16\,m^5\bigr),
logo c^5 é par. Somando 7, que é ímpar, temos “par + ímpar = ímpar”, ou seja,
c^5 + 7 \text{ é ímpar}.éí
Isso demonstra a contra-positiva.

Passo 4

Como a contra-positiva é verdadeira, a proposição original também é verdadeira.

Resposta

\displaystyle\forall c\in\mathbb{Z},\;\bigl(c^5+7\text{ é par}\bigr)\;\Longrightarrow\;\bigl(c\text{ é ímpar}\bigr).ééí

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