Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova pela contra-positiva (completa, com todos os passos importantes necessários):
se
é par, então
é ímpar.
se
Passo 1
Vamos enunciar a proposição de modo preciso, indicando domínio, quantificadores e definição de par/ímpar. Seja o domínio dos inteiros
. Definimos
– “ é par” como “
tal que
”.
– “ é ímpar” como “
tal que
”.
Então a proposição é:
– “
– “
Então a proposição é:
Passo 2
Para provar por contra-positiva, escrevemos a afirmação equivalente:
Como “
” é “
é par” e “
” é “
é ímpar”, a contra-positiva fica:
Passo 3
Prova da contra-positiva. Seja
e suponha que
é par. Então
Eleve ao quinto:
logo
é par. Somando
, que é ímpar, temos “par
ímpar
ímpar”, ou seja,
Isso demonstra a contra-positiva.
Passo 4
Como a contra-positiva é verdadeira, a proposição original também é verdadeira.