Questão 1: Seja
uma função de
, dada implicitamente pela equação
.
(8 pts) (a) Determine
.
(7 pts) (b) Determine a equação da reta tangente à curva definida pela equação
no ponto ( 1,1 ).
(8 pts) (a) Determine
(7 pts) (b) Determine a equação da reta tangente à curva definida pela equação
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
onde
é função de
. Pede-se:
(a) determinar (derivada de
em relação a
);
(b) achar a equação da reta tangente à curva no ponto .
(a) determinar
(b) achar a equação da reta tangente à curva no ponto
As informações relevantes que temos:
- A relação entre
e é . - O ponto onde queremos a reta tangente é
. - Implicitamente assume-se
, ou seja, ao diferenciar aparece .
Passo 2
Plano de ação (explicando as regras usadas, passo a passo, como numa mini-aula):
- Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que depende de . Isso é diferenciação implícita. - Relembrando duas regras básicas que usaremos:
- Regra da cadeia: se
e , então . Aqui . - Regra do produto: se
e , então .
- Regra da cadeia: se
- Vamos aplicar essas regras com calma na expressão
.
Passo 3
Reescrevendo a parte esquerda para facilitar a diferenciação:
Trataremos
e
.
Passo 4
Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do produto para
:
Portanto a derivada do lado esquerdo é
Passo 5
Derivando o lado direito
:
-
. -
.
Logo o lado direito derivado é
Passo 6
Agora igualamos as derivadas (derivando a igualdade original):
Fatorando
obtemos
Analisando os fatores:
- O segundo fator
jamais é zero nas situações válidas da curva, porque é não negativo para e a equação original não admite (pois se a igualdade seria , impossível). Logo esse fator não zera. - Portanto devemos ter o primeiro fator zero:
Isolando
,
Passo 7
Interpretação rápida: a derivada
sobre a curva vale
em todo ponto da curva onde a equação faz sentido. Observação: essa expressão foi obtida sem depender de valores numéricos adicionais; é válida sempre que
e o ponto pertence à curva.
Passo 8
Agora (b): reta tangente no ponto
.
- Calculamos a inclinação usando a fórmula encontrada:
- A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
com
e
. Substituindo:
Simplificando:
Resposta
(a)
(b)