Questão 1: Seja y uma função de x, dada implicitamente pela equação \sqrt{x y}=3-2 x y.
(8 pts) (a) Determine y^{\prime}.
(7 pts) (b) Determine a equação da reta tangente à curva definida pela equação \sqrt{x y}=3-2 x y no ponto ( 1,1 ).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
\sqrt{x y}=3-2 x y
onde y é função de x. Pede-se:
(a) determinar y^{\prime} (derivada de y em relação a x);
(b) achar a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1).
As informações relevantes que temos:
  • A relação entre x e y é \sqrt{x y}=3-2 x y.
  • O ponto onde queremos a reta tangente é (1,1).
  • Implicitamente assume-se y=y(x), ou seja, ao diferenciar y aparece y^{\prime}.

Passo 2

Plano de ação (explicando as regras usadas, passo a passo, como numa mini-aula):
  • Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y depende de x. Isso é diferenciação implícita.
  • Relembrando duas regras básicas que usaremos:
    • Regra da cadeia: se F(u)=u^{1/2} e u=u(x), então \dfrac{d}{dx}F(u(x))=F'(u(x))\cdot u'(x). Aqui F'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}.
    • Regra do produto: se u(x)=x e v(x)=y(x), então \dfrac{d}{dx}(x\cdot y)=x\cdot y'+1\cdot y = y + x y'.
  • Vamos aplicar essas regras com calma na expressão \sqrt{x y}=(x y)^{1/2}.

Passo 3

Reescrevendo a parte esquerda para facilitar a diferenciação:
\sqrt{x y}=(x y)^{1/2}.
Trataremos u(x)=x y(x) e F(u)=u^{1/2}.

Passo 4

Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big((x y)^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(x y).
Agora aplicamos a regra do produto para \dfrac{d}{dx}(x y):
\frac{d}{dx}(x y)=y + x y'.
Portanto a derivada do lado esquerdo é
\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\big(y + x y'\big).

Passo 5

Derivando o lado direito \,3-2 x y\,:
  • \dfrac{d}{dx}(3)=0.
  • \dfrac{d}{dx}(-2 x y)=-2\cdot\frac{d}{dx}(x y)=-2\big(y + x y'\big).
    Logo o lado direito derivado é
-2\big(y + x y'\big).

Passo 6

Agora igualamos as derivadas (derivando a igualdade original):
\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\big(y + x y'\big) = -2\big(y + x y'\big).
Fatorando \big(y + x y'\big) obtemos
\big(y + x y'\big)\left[\frac{1}{2}(x y)^{-1/2} + 2\right]=0.
Analisando os fatores:
  • O segundo fator \dfrac{1}{2}(x y)^{-1/2} + 2 jamais é zero nas situações válidas da curva, porque (x y)^{-1/2} é não negativo para x y>0 e a equação original não admite x y=0 (pois se x y=0 a igualdade \sqrt{x y}=3-2 x y seria 0=3, impossível). Logo esse fator não zera.
  • Portanto devemos ter o primeiro fator zero:
y + x y' = 0.
Isolando y',
y' = -\frac{y}{x}.

Passo 7

Interpretação rápida: a derivada y' sobre a curva vale -y/x em todo ponto da curva onde a equação faz sentido. Observação: essa expressão foi obtida sem depender de valores numéricos adicionais; é válida sempre que x\neq0 e o ponto pertence à curva.

Passo 8

Agora (b): reta tangente no ponto (1,1).
  • Calculamos a inclinação usando a fórmula encontrada:
y'(1)= -\frac{y(1)}{x(1)} = -\frac{1}{1} = -1.
  • A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - y_0 = m\,(x - x_0),
com (x_0,y_0)=(1,1) e m=-1. Substituindo:
y - 1 = -1\,(x - 1).
Simplificando:
y - 1 = -x + 1 \quad\Rightarrow\quad y = -x + 2.

Resposta

(a) y'=-\dfrac{y}{x}
(b) y=-x+2

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