Questão 4: Considere a função f dada por f(x)=\frac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}.
(4 Pts) (a) Determine o domínio da função e encontre os pontos de interseção com os eixos x e y, caso existam.
(5 Pts) (b) Determine as assintotas verticais e horizontais ao gráfico de f, caso existam.
(4 Pts) (c) Sabendo que f^{\prime}(x)=\frac{-3 x-1}{(x+1)^{3}}. Determine o(s) número(s) crítico(s) de f.
(5 Pts) (d) Sabendo que f^{\prime}(x)=\frac{-3 x-1}{(x+1)^{3}}. Determine o(s) intervalo(s) onde f é crescente e onde f é decrescente.
(3 Pts) (e) Determine os extremos relativos (máximos e mínimos locais) de f, caso existam.
(5 Pts) (f) Sabendo que f^{\prime \prime}(x)=\frac{6(x+1)}{(x-1)^{4}}, determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
(3 Pts) (g) Determine os ponto(s) de inflexão ao gráfico de f, caso existam.
(6 Pts) (h) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado fornece a função f e pede várias análises do gráfico. O que temos e o que é pedido:
  • Função dada: f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}.
  • Perguntas:
    (a) domínio; interseções com eixos x e y;
    (b) assíntotas verticais e horizontais;
    (c) números críticos de f (foi informado um f' no enunciado);
    (d) intervalos de crescimento/decrescimento (o enunciado dá f');
    (e) extremos relativos;
    (f) intervalos de concavidade (o enunciado dá f'');
    (g) pontos de inflexão;
    (h) esboço do gráfico.
  • O enunciado apresenta fórmulas para f'(x) e f''(x). Vou calcular/confirmar f'(x) e usar f''(x) quando necessário (há uma pequena inconsistência tipográfica no enunciado que será esclarecida no desenvolvimento).

Passo 2

Determinar o domínio e as interseções com os eixos.
  • Domínio: a expressão tem denominador (x-1)^{2}. Devemos exigir (x-1)^{2}\neq0, isto é, x\neq1. Assim o domínio é
(-\infty,1)\cup(1,\infty).
  • Interseções com o eixo x: resolver f(x)=0. Como f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}, a raiz vem de x^{2}+x=0, isto é,
x(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=-1.
Esses pontos pertencem ao domínio (nenhum é 1), então as interseções com o eixo x são (0,0) e (-1,0).
  • Interseção com o eixo y: é f(0). Já vimos f(0)=0. Então a interseção com o eixo y é (0,0) (mesmo ponto).

Passo 3

Assíntotas verticais e horizontais — teoria rápida e aplicação.
  • Teoria: assíntota vertical pode ocorrer onde o denominador zera (e o numerador não zera de forma a cancelar). Assíntota horizontal, para racionais polinomiais, depende dos graus: se graus iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
  • Vertical: (x-1)^{2}=0 em x=1. O numerador em x\to1 vale 1^{2}+1=2\neq0. Portanto há assíntota vertical em x=1. Para estudar o sinal do infinito: \lim_{x\to1^\pm} f(x)=\lim_{x\to1^\pm}\dfrac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}.O denominador é quadrado e tende a 0^{+} por ambos os lados; o numerador tende a 2>0. Logo \lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x)=+\infty.Assim a curva vai para +\infty em ambos os lados de x=1.
  • Horizontal: os polinômios do numerador e denominador têm ambos grau 2. Coeficiente líder do numerador é 1 (de x^{2}) e do denominador também é 1 (pois (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1). Portanto a assíntota horizontal é y=1.(validação: f(x)-1=\dfrac{3x-1}{(x-1)^{2}} e isso tende a 0 quando x\to\pm\infty).

Passo 4

Cálculo e confirmação de f'(x) (usando a regra do quociente).
  • Tomando u(x)=x^{2}+x e v(x)=(x-1)^{2}, temos u'=2x+1 e v'=2(x-1).
  • Pela regra do quociente,
f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}=\dfrac{(2x+1)(x-1)^{2}-(x^{2}+x)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^{4}}.
  • Fatorando (x-1) no numerador:
f'(x)=\dfrac{(x-1)\big[(2x+1)(x-1)-2(x^{2}+x)\big]}{(x-1)^{4}} =\dfrac{(2x+1)(x-1)-2x(x+1)}{(x-1)^{3}}.
  • Expandindo e simplificando:
(2x+1)(x-1)=2x^{2}-x-1,\qquad 2x(x+1)=2x^{2}+2x,
(2x+1)(x-1)-2x(x+1)=2x^{2}-x-1-(2x^{2}+2x)=-3x-1.
  • Logo
f'(x)=\dfrac{-3x-1}{(x-1)^{3}}.
Observação: havia uma tipografia no enunciado com (x+1)^{3} no denominador; o denominador correto é (x-1)^{3} conforme calculado.

Passo 5

Números críticos de f (definição e aplicação).
  • Definição: números críticos são x no domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não existe.
  • Temos f'(x)=\dfrac{-3x-1}{(x-1)^{3}}.
    • Zera quando -3x-1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}.
    • f' não existe em x=1, mas x=1 não pertence ao domínio, então não é considerado número crítico interno.
  • Portanto o único número crítico é
x=-\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Intervalos de crescimento/decrescimento (estudo do sinal de f').
  • Particionamos a reta pelos pontos críticos e por x=1 (ponto fora do domínio): intervalos relevantes são (-\infty,-\tfrac{1}{3}), (-\tfrac{1}{3},1), (1,\infty).
  • O sinal de f'(x)=\dfrac{-3x-1}{(x-1)^{3}} depende de:
    • numerador N(x)=-3x-1 (zera em -\tfrac{1}{3}); para x<-\tfrac{1}{3} tem N>0, para x>-\tfrac{1}{3} tem N<0;
    • denominador D(x)=(x-1)^{3}: para x<1 temos D<0; para x>1 temos D>0.
  • Testando cada intervalo:
    • Em (-\infty,-\tfrac{1}{3}): N>0, D<0 f'<0. Logo f é decrescente em (-\infty,-\tfrac{1}{3}).
    • Em (-\tfrac{1}{3},1): N<0, D<0 f'>0. Logo f é crescente em (-\tfrac{1}{3},1).
    • Em (1,\infty): N<0, D>0 f'<0. Logo f é decrescente em (1,\infty).

Passo 7

Extremos relativos (teste da primeira derivada e cálculo do valor).
  • Em x=-\tfrac{1}{3} o sinal de f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita): decrescente → crescente. Pelo teste da primeira derivada, isso indica um mínimo local.
  • Valor de f neste ponto:
f\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{3}\right)}{\left(-\tfrac{1}{3}-1\right)^{2}} =\dfrac{\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{3}}{\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}} =\dfrac{-\tfrac{2}{9}}{\tfrac{16}{9}}=-\tfrac{1}{8}.
  • Conclusão: existe um mínimo local em \displaystyle\Bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{8}\Bigr). Não há máximo local (nenhum outro número crítico).

Passo 8

Concavidade e f''(x) — teoria e aplicação.
  • Podemos diferenciar f'(x)=\dfrac{-3x-1}{(x-1)^{3}} ou usar a f'' fornecida (que é consistente): calcular leva a
f''(x)=\dfrac{6(x+1)}{(x-1)^{4}}.
  • Observação sobre o sinal: o denominador (x-1)^{4} é sempre positivo para x\neq1. Assim o sinal de f'' é o sinal do numerador 6(x+1).
    • f''(x)>0 quando x+1>0, ou seja, x>-1.
    • f''(x)<0 quando x+1<0, ou seja, x<-1.
  • Como x=1 não pertence ao domínio, chamamos atenção mas não altera os intervalos de concavidade (é apenas uma descontinuidade vertical).
  • Portanto:
    • f é côncava para baixo em (-\infty,-1).
    • f é côncava para cima em (-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 9

Pontos de inflexão.
  • Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 ou f'' muda de sinal em um ponto do domínio.
  • f''(x)=0 quando x=-1. Verificar que x=-1 pertence ao domínio (sim, x=-1\neq1) e há troca de concavidade: para x<-1, f''<0; para x>-1, f''>0. Portanto há inflexão em x=-1.
  • Coordenada y do ponto: já sabemos f(-1)=0 (foi uma interseção com o eixo x). Assim o ponto de inflexão é (-1,0).

Passo 10

Esboço do gráfico — resumo das características para desenhar.
  • Domínio: (-\infty,1)\cup(1,\infty).
  • Interseções: (-1,0) e (0,0).
  • Assíntotas: vertical x=1 (ambos os lados vão para +\infty); horizontal y=1.
  • Crescimento/decrescimento:
    • decrescente em (-\infty,-\tfrac{1}{3}),
    • crescente em (-\tfrac{1}{3},1),
    • decrescente em (1,\infty).
  • Extremo: mínimo local em \left(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{8}\right).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-1); côncava para cima em (-1,1)\cup(1,\infty).
  • Inflexão: em (-1,0).
  • Com essas informações o esboço é: à esquerda, vindo de +\infty quando x\to1^- passa por (0,0) e (-1,0) (inflexão), tem um mínimo em -\tfrac{1}{3} com y=-\tfrac{1}{8}, e ao ir para -\infty aproxima-se de y=1. À direita de x=1 a curva sai de +\infty e decresce aproximando-se de y=1 quando x\to+\infty. (Para o desenho, marcar assíntotas, interceptos, mínimo e ponto de inflexão.)

Resposta

(a) Domínio: (-\infty,1)\cup(1,\infty). Interseções: com o eixo x em (-1,0) e (0,0); com o eixo y em (0,0).\n
(b) Assíntota vertical: x=1 (ambos os lados +\infty). Assíntota horizontal: y=1.\n
(c) Números críticos: x=-\dfrac{1}{3}.\n
(d) Crescente em \left(-\dfrac{1}{3},1\right). Decrescente em \left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right) e em (1,\infty).\n
(e) Extremo relativo: mínimo local em \displaystyle\Bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{8}\Bigr). Não há máximo local.\n
(f) Côncavo para baixo em (-\infty,-1). Côncavo para cima em (-1,1)\cup(1,\infty).\n
(g) Ponto de inflexão: (-1,0).\n
(h) Esboço: curva definida em (-\infty,1) e (1,\infty); assíntotas x=1 (vertical) e y=1 (horizontal); interceptos em (-1,0) e (0,0); mínimo em \bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{8}\bigr); inflexão em (-1,0). (Desenhar respeitando esses pontos e sinais de f' e f''.)

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