Questão 4: Considere a função
dada por
.
(4 Pts) (a) Determine o domínio da função e encontre os pontos de interseção com os eixos
e
, caso existam.
(5 Pts) (b) Determine as assintotas verticais e horizontais ao gráfico de
, caso existam.
(4 Pts) (c) Sabendo que
. Determine o(s) número(s) crítico(s) de
.
(5 Pts) (d) Sabendo que
. Determine o(s) intervalo(s) onde
é crescente e onde
é decrescente.
(3 Pts) (e) Determine os extremos relativos (máximos e mínimos locais) de
, caso existam.
(5 Pts) (f) Sabendo que
, determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de
é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
(3 Pts) (g) Determine os ponto(s) de inflexão ao gráfico de
, caso existam.
(6 Pts) (h) Esboce o gráfico de
.
(4 Pts) (a) Determine o domínio da função e encontre os pontos de interseção com os eixos
(5 Pts) (b) Determine as assintotas verticais e horizontais ao gráfico de
(4 Pts) (c) Sabendo que
(5 Pts) (d) Sabendo que
(3 Pts) (e) Determine os extremos relativos (máximos e mínimos locais) de
(5 Pts) (f) Sabendo que
(3 Pts) (g) Determine os ponto(s) de inflexão ao gráfico de
(6 Pts) (h) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede várias análises do gráfico. O que temos e o que é pedido:
- Função dada:
. - Perguntas:
(a) domínio; interseções com eixose ;
(b) assíntotas verticais e horizontais;
(c) números críticos de(foi informado um no enunciado);
(d) intervalos de crescimento/decrescimento (o enunciado dá);
(e) extremos relativos;
(f) intervalos de concavidade (o enunciado dá);
(g) pontos de inflexão;
(h) esboço do gráfico. - O enunciado apresenta fórmulas para
e . Vou calcular/confirmar e usar quando necessário (há uma pequena inconsistência tipográfica no enunciado que será esclarecida no desenvolvimento).
Passo 2
Determinar o domínio e as interseções com os eixos.
- Domínio: a expressão tem denominador
. Devemos exigir , isto é, . Assim o domínio é
- Interseções com o eixo
: resolver . Como , a raiz vem de , isto é,
Esses pontos pertencem ao domínio (nenhum é
), então as interseções com o eixo
são
e
.
- Interseção com o eixo
: é . Já vimos . Então a interseção com o eixo é (mesmo ponto).
Passo 3
Assíntotas verticais e horizontais — teoria rápida e aplicação.
- Teoria: assíntota vertical pode ocorrer onde o denominador zera (e o numerador não zera de forma a cancelar). Assíntota horizontal, para racionais polinomiais, depende dos graus: se graus iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
- Vertical:
em . O numerador em vale . Portanto há assíntota vertical em . Para estudar o sinal do infinito: O denominador é quadrado e tende a por ambos os lados; o numerador tende a . Logo Assim a curva vai para em ambos os lados de . - Horizontal: os polinômios do numerador e denominador têm ambos grau
. Coeficiente líder do numerador é (de ) e do denominador também é (pois ). Portanto a assíntota horizontal é (validação: e isso tende a quando ).
Passo 4
Cálculo e confirmação de
(usando a regra do quociente).
- Tomando
e , temos e . - Pela regra do quociente,
- Fatorando
no numerador:
- Expandindo e simplificando:
- Logo
Observação: havia uma tipografia no enunciado com
no denominador; o denominador correto é
conforme calculado.
Passo 5
Números críticos de
(definição e aplicação).
- Definição: números críticos são
no domínio onde ou onde não existe. - Temos
. - Zera quando
. -
não existe em , mas não pertence ao domínio, então não é considerado número crítico interno.
- Zera quando
- Portanto o único número crítico é
Passo 6
Intervalos de crescimento/decrescimento (estudo do sinal de
).
- Particionamos a reta pelos pontos críticos e por
(ponto fora do domínio): intervalos relevantes são , , . - O sinal de
depende de: - numerador
(zera em ); para tem , para tem ; - denominador
: para temos ; para temos .
- numerador
- Testando cada intervalo:
- Em
: , ⇒ . Logo é decrescente em . - Em
: , ⇒ . Logo é crescente em . - Em
: , ⇒ . Logo é decrescente em .
- Em
Passo 7
Extremos relativos (teste da primeira derivada e cálculo do valor).
- Em
o sinal de muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita): decrescente → crescente. Pelo teste da primeira derivada, isso indica um mínimo local. - Valor de
neste ponto:
- Conclusão: existe um mínimo local em
. Não há máximo local (nenhum outro número crítico).
Passo 8
Concavidade e
— teoria e aplicação.
- Podemos diferenciar
ou usar a fornecida (que é consistente): calcular leva a
- Observação sobre o sinal: o denominador
é sempre positivo para . Assim o sinal de é o sinal do numerador . -
quando , ou seja, . -
quando , ou seja, .
-
- Como
não pertence ao domínio, chamamos atenção mas não altera os intervalos de concavidade (é apenas uma descontinuidade vertical). - Portanto:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em .
-
Passo 9
Pontos de inflexão.
- Pontos de inflexão ocorrem quando
ou muda de sinal em um ponto do domínio. -
quando . Verificar que pertence ao domínio (sim, ) e há troca de concavidade: para , ; para , . Portanto há inflexão em . - Coordenada
do ponto: já sabemos (foi uma interseção com o eixo ). Assim o ponto de inflexão é .
Passo 10
Esboço do gráfico — resumo das características para desenhar.
- Domínio:
. - Interseções:
e . - Assíntotas: vertical
(ambos os lados vão para ); horizontal . - Crescimento/decrescimento:
- decrescente em
, - crescente em
, - decrescente em
.
- decrescente em
- Extremo: mínimo local em
. - Concavidade: côncava para baixo em
; côncava para cima em . - Inflexão: em
. - Com essas informações o esboço é: à esquerda, vindo de
quando passa por e (inflexão), tem um mínimo em com , e ao ir para aproxima-se de . À direita de a curva sai de e decresce aproximando-se de quando . (Para o desenho, marcar assíntotas, interceptos, mínimo e ponto de inflexão.)
Resposta
(a) Domínio:
. Interseções: com o eixo
em
e
; com o eixo
em
.\n
(b) Assíntota vertical: (ambos os lados
). Assíntota horizontal:
.\n
(c) Números críticos: .\n
(d) Crescente em . Decrescente em
e em
.\n
(e) Extremo relativo: mínimo local em . Não há máximo local.\n
(f) Côncavo para baixo em . Côncavo para cima em
.\n
(g) Ponto de inflexão: .\n
(h) Esboço: curva definida em e
; assíntotas
(vertical) e
(horizontal); interceptos em
e
; mínimo em
; inflexão em
. (Desenhar respeitando esses pontos e sinais de
e
.)
(b) Assíntota vertical:
(c) Números críticos:
(d) Crescente em
(e) Extremo relativo: mínimo local em
(f) Côncavo para baixo em
(g) Ponto de inflexão:
(h) Esboço: curva definida em