Calcule a transformada de Laplace \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} em cada caso.
\mathcal{L}\left\{\operatorname{sen}(2 t)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{sen}(2t). O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e a técnica de integração por partes para funções trigonométricas.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t), para t\ge0 e s tal que o integral convirja, é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Aplicando a definição a f(t)=\operatorname{sen}(2t), temos
I=\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}\operatorname{sen}(2t)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 4

Para calcular I, fazemos duas integrações por partes.
  1. Primeira integração por partes: tome
u=\operatorname{sen}(2t),\quad dv=e^{-s t}dt,
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du=2\cos(2t)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Assim
I=\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\operatorname{sen}(2t)\Bigr]_{0}^{\infty} +\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt.
O termo de contorno vale zero, pois e^{-st}\operatorname{sen}(2t)\to0 quando t\to\infty \Re(s)>0 e é nulo em t=0. Defina
J=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt,
de modo que
I=\frac{2}{s}\,J.
  1. Segunda integração por partes em J: tome
u=\cos(2t),\quad dv=e^{-s t}dt,
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du=-2\operatorname{sen}(2t)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Então
J=\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(2t)\Bigr]_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr)(-2\operatorname{sen}(2t))\,dt =\frac{1}{s}-\frac{2}{s}\,I.
Substituindo em I=\tfrac{2}{s}J, obtemos
I=\frac{2}{s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{2}{s}I\Bigr) =\frac{2}{s^{2}}-\frac{4}{s^{2}}I \;\Longrightarrow\; I\Bigl(1+\frac{4}{s^{2}}\Bigr)=\frac{2}{s^{2}} \;\Longrightarrow\; I=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 5

Portanto a transformada de Laplace converge para \Re(s)>0 e vale
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

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