Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede um esboço dos gráficos de quatro funções, indicando em quais intervalos cada uma é côncava para cima ou para baixo. O método geral é:
- Identificar o domínio da função.
- Calcular a primeira derivada
para entender monotonia e pontos críticos. - Calcular a segunda derivada
, encontrar onde ou indefinida, e estudar o sinal de para determinar concavidade e pontos de inflexão. - Para funções racionais, identificar também assíntotas verticais e horizontais.
- Com todas essas informações, esboçar o comportamento qualitativo.
Passo 2
Análise de
- Domínio: todo
.
- Pontos de inflexão: solução de
é . - Sinal de
:
-
para ⇒ concavidade para baixo em . -
para ⇒ concavidade para cima em .
- Esboço: é um “S” clássico de uma cúbica com inflexão na origem, crescendo para
.
Passo 3
Análise de
- Domínio: todo
.
- Pontos de inflexão:
dá , ou seja . - Sinal de
:
-
para ⇒ concavidade para cima em . -
para ⇒ concavidade para baixo em .
- Esboço: cúbica invertida (coeficiente líder
), com inflexão em .
Passo 4
Análise de
- Domínio:
.
- Não há zero de
; somente pontos onde o denominador muda de sinal, isto é (assíntotas verticais). - Sinal de
:
-
em ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para cima em . -
em ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para baixo em .
- Assíntotas: verticais em
; horizontal . Esboço: duas ramas hiperbólicas.
Passo 5
Análise de
- Domínio:
.
- Numerador de
muda de sinal em ; denominador muda em . - Sinal de
:
- Concavidade para cima quando
, ou seja:
ou
- Concavidade para baixo quando
, ou seja:
- Assíntotas verticais em
; horizontal . Infecção em . Esboço: curva ímpar com três ramos.
Resposta
f(x)=
−3x
• Concava para baixo em (−∞,0)
• Concava para cima em (0,∞)
• Inflexão em x
• Concava para baixo em (−∞,0)
• Concava para cima em (0,∞)
• Inflexão em x
g(x)
−3
−2
• Concava para cima em (−∞,−½)
• Concava para baixo em (−½,∞)
• Inflexão em x=−½
• Concava para cima em (−∞,−½)
• Concava para baixo em (−½,∞)
• Inflexão em x=−½
h(x)
/(1−
)
• Domínio: x ; assíntotas verticais em x
; horizontal y
Concava para cima em (−1,1)
• Concava para baixo em (−∞,−1)∪(1,∞)
• Domínio: x
• Concava para baixo em (−∞,−1)∪(1,∞)
p(x)=x/(1−
)
• Domínio: x ; assíntotas verticais em x
; horizontal y
Concava para cima em (−∞,−1) ∪ (0,1)
• Concava para baixo em (−1,0) ∪ (1,∞)
• Inflexão em x
• Domínio: x
• Concava para baixo em (−1,0) ∪ (1,∞)
• Inflexão em x