Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=x^{3}-3 x
g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3}
h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
p(x)=\frac{x}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede um esboço dos gráficos de quatro funções, indicando em quais intervalos cada uma é côncava para cima ou para baixo. O método geral é:
  1. Identificar o domínio da função.
  2. Calcular a primeira derivada \,f'(x)\, para entender monotonia e pontos críticos.
  3. Calcular a segunda derivada \,f''(x)\,, encontrar onde \,f''(x)=0 ou indefinida, e estudar o sinal de \,f''(x)\, para determinar concavidade e pontos de inflexão.
  4. Para funções racionais, identificar também assíntotas verticais e horizontais.
  5. Com todas essas informações, esboçar o comportamento qualitativo.

Passo 2

Análise de f(x)=x^{3}-3x
  1. Domínio: todo \mathbb{R}.
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1), \quad f''(x)=6x.
  1. Pontos de inflexão: solução de f''(x)=0 é x=0.
  2. Sinal de f''(x):
  • f''(x)<0 para x<0 ⇒ concavidade para baixo em (-\infty,0).
  • f''(x)>0 para x>0 ⇒ concavidade para cima em (0,\infty).
  1. Esboço: é um “S” clássico de uma cúbica com inflexão na origem, crescendo para \pm\infty.

Passo 3

Análise de g(x)=12-3x^{2}-2x^{3}
  1. Domínio: todo \mathbb{R}.
g'(x)=-6x-6x^{2}=-6x(1+x), \quad g''(x)=-6-12x=-6(1+2x).
  1. Pontos de inflexão: g''(x)=0 1+2x=0, ou seja x=-\tfrac12.
  2. Sinal de g''(x):
  • g''(x)>0 para x<-\tfrac12 ⇒ concavidade para cima em (-\infty,-\tfrac12).
  • g''(x)<0 para x>-\tfrac12 ⇒ concavidade para baixo em (-\tfrac12,\infty).
  1. Esboço: cúbica invertida (coeficiente líder -2), com inflexão em x=-\tfrac12.

Passo 4

Análise de h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
  1. Domínio: x\neq\pm1.
h'(x)=\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}, \quad h''(x)=\frac{2+6x^{2}}{(1-x^{2})^{3}}.
  1. Não há zero de 2+6x^{2}; somente pontos onde o denominador muda de sinal, isto é x=\pm1 (assíntotas verticais).
  2. Sinal de h''(x):
  • 1-x^{2}>0 em |x|<1 (1-x^{2})^{3}>0 h''(x)>0 ⇒ concavidade para cima em (-1,1).
  • 1-x^{2}<0 em |x|>1 (1-x^{2})^{3}<0 h''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
  1. Assíntotas: verticais em x=\pm1; horizontal y=0. Esboço: duas ramas hiperbólicas.

Passo 5

Análise de p(x)=\frac{x}{1-x^{2}}
  1. Domínio: x\neq\pm1.
p'(x)=\frac{1+x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}, \quad p''(x)=\frac{2x\,(3+x^{2})}{(1-x^{2})^{3}}.
  1. Numerador de p'' muda de sinal em x=0; denominador muda em x=\pm1.
  2. Sinal de p''(x):
  • Concavidade para cima quando p''(x)>0, ou seja:
(x>0\text{ e }|x|<1)\quad\Longrightarrow\quad 0<x<1,
ou
(x<0\text{ e }|x|>1)\quad\Longrightarrow\quad x<-1.
  • Concavidade para baixo quando p''(x)<0, ou seja:
-1<x<0 \quad\text{ou}\quad x>1.
  1. Assíntotas verticais em x=\pm1; horizontal y=0. Infecção em x=0. Esboço: curva ímpar com três ramos.

Resposta

f(x)= x^{3}−3x
• Concava para baixo em (−∞,0)
• Concava para cima em (0,∞)
• Inflexão em x =0
g(x) =12−3 x^{2}−2 x^{3}
• Concava para cima em (−∞,−½)
• Concava para baixo em (−½,∞)
• Inflexão em x=−½
h(x) =1/(1− x^{2})
• Domínio: x \neq\pm 1; assíntotas verticais em x =\pm 1; horizontal y =0\bullet Concava para cima em (−1,1)
• Concava para baixo em (−∞,−1)∪(1,∞)
p(x)=x/(1− x^{2})
• Domínio: x \neq\pm 1; assíntotas verticais em x =\pm 1; horizontal y =0\bullet Concava para cima em (−∞,−1) ∪ (0,1)
• Concava para baixo em (−1,0) ∪ (1,∞)
• Inflexão em x =0

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