Calcule a transformada de Laplace \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} em cada caso.
\mathcal{L}\left\{t\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=t. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e o uso de integração por partes para funções do tipo t^n.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{t\} \;=\;\int_{0}^{\infty}t\,e^{-s t}\,dt,
com s sendo a variável complexa cujo real é positivo para garantir convergência.

Passo 3

Para resolver
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-s t}\,dt
fazemos integração por partes, escolhendo
u=t,\quad dv=e^{-s t}dt
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du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Assim,
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-s t}\,dt =\Bigl.-\frac{t}{s}e^{-s t}\Bigr|_{0}^{\infty} +\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}dt.

Passo 4

No termo de borda, quando t\to\infty e \Re(s)>0, temos t\,e^{-s t}\to0; em t=0 dá zero também. A integral remanescente é
\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}dt =\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} =\frac{1}{s^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},\quad \Re(s)>0.

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