Calcule a transformada de Laplace
das seguintes funções.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada de Laplace, denotada por
, de uma função
que é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace para funções por partes e como lidar com funções definidas por intervalos diferentes. Além disso, vamos utilizar a propriedade das funções de degrau unitário (função de Heaviside) na transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função de Heaviside, que é útil para tratar funções que mudam de valor em um certo ponto. A função de Heaviside,
, é igual a 0 quando
e 1 quando
.
Então, podemos expressar
como:
Mas uma forma mais conveniente de escrever é:
Isso porque para
,
, então
; e para
,
, então
.
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada de Laplace à expressão de
que encontramos:
A transformada de Laplace é uma operação linear, então podemos separar as transformadas:
Passo 4
Calculando cada transformada separadamente:
- A transformada de Laplace de uma constante
é:
Portanto,
- A transformada de Laplace da função de Heaviside deslocada
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, substituímos as transformadas encontradas na expressão original:
Podemos simplificar unificando os termos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: