Calcule a transformada de Laplace mathscrL(f(t)) das seguintes funções.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada de Laplace, denotada por mathscrL(f(t)), de uma função f(t) que é definida de forma diferente em dois intervalos:
f(t) = -1 & se 0 <= t < 1 1 & se t >= 1
Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace para funções por partes e como lidar com funções definidas por intervalos diferentes. Além disso, vamos utilizar a propriedade das funções de degrau unitário (função de Heaviside) na transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(t) usando a função de Heaviside, que é útil para tratar funções que mudam de valor em um certo ponto. A função de Heaviside, u(t - a), é igual a 0 quando t < a e 1 quando t >= a.
Então, podemos expressar f(t) como:
f(t) = -1 cdot u(1 - t) + 1 cdot u(t - 1)
Mas uma forma mais conveniente de escrever é:
f(t) = -1 + 2u(t - 1)
Isso porque para t < 1, u(t - 1) = 0, então f(t) = -1; e para t >= 1, u(t - 1) = 1, então f(t) = -1 + 2 = 1.

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace à expressão de f(t) que encontramos:
mathscrLf(t) = mathscrL-1 + 2u(t - 1)
A transformada de Laplace é uma operação linear, então podemos separar as transformadas:
mathscrLf(t) = mathscrL-1 + 2mathscrLu(t - 1)

Passo 4

Calculando cada transformada separadamente:
  1. A transformada de Laplace de uma constante c é:
mathscrLc = cs
Portanto,
mathscrL-1 = -1s
  1. A transformada de Laplace da função de Heaviside deslocada u(t - a) é:
mathscrLu(t - a) = e^-ass
No nosso caso, a = 1, então:
mathscrLu(t - 1) = e^-ss

Passo 5

Agora, substituímos as transformadas encontradas na expressão original:
mathscrLf(t) = -1s + 2 cdot e^-ss
Podemos simplificar unificando os termos:
mathscrLf(t) = -1 + 2e^-ss

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) é:
mathscrLf(t) = -1 + 2e^-ss

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