Determine a área total da região limitada pela curva
e pelo eixo
nos intervalos especificados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área total da região que está limitada pela curva $ y = f(x) $ e pelo eixo $ x $, no intervalo de $ x $ que vai de
até
. Para isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar a função e considerar onde ela está acima ou abaixo do eixo $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = \sqrt[3]{x} - x $. É importante saber onde essa função cruza o eixo $ x $, ou seja, onde $ f(x) = 0 $. Isso vai nos ajudar a dividir o intervalo em partes onde a função está positiva ou negativa.
Vamos resolver $ \sqrt[3]{x} - x = 0 $:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Reorganizando:
Então, as interseções com o eixo $ x $ acontecem em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde a função cruza o eixo $ x $, vamos dividir o intervalo de
a
em partes onde a função está acima ou abaixo do eixo. Isso é importante porque a área é sempre positiva, então vamos considerar o valor absoluto da função em cada intervalo.
Analisando os intervalos:
- De
a : $ f(x) $ é positivo. - De
a : $ f(x) $ é negativo. - De
a : $ f(x) $ é negativo.
Passo 4
Vamos montar as integrais para cada intervalo identificado:
- De
a :
- De
a :
- De
a :
Note que nos intervalos onde $ f(x) $ é negativo, inverti a ordem dentro da integral para garantir que a área seja positiva.
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente:
- Calculando
:
Lembrando que $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $, a integral fica:
- Calculando
:
Como estamos considerando o valor absoluto, essa área também é $ \frac{1}{4} $.
- Calculando
:
Calculando em $ x = 8 $:
Calculando em $ x = 1 $:
Então:
Resposta
A área total da região limitada pela curva $ y = \sqrt[3]{x} - x $ e pelo eixo $ x $ no intervalo de
a
é:
Ou seja, $ \boxed{\dfrac{83}{4}} $.