Determine a área total da região limitada pela curva y=f(x) e pelo eixo x nos intervalos especificados.
f(x)=raiz[3]x-x,-1 <= x <= 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área total da região que está limitada pela curva $ y = f(x) $ e pelo eixo $ x $, no intervalo de $ x $ que vai de y = f(x) até x . Para isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar a função e considerar onde ela está acima ou abaixo do eixo $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = \sqrt[3]{x} - x $. É importante saber onde essa função cruza o eixo $ x $, ou seja, onde $ f(x) = 0 $. Isso vai nos ajudar a dividir o intervalo em partes onde a função está positiva ou negativa.
Vamos resolver $ \sqrt[3]{x} - x = 0 $:
f(x) = raiz[3]x - x
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
x
Reorganizando:
f(x) = 0
Então, as interseções com o eixo $ x $ acontecem em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde a função cruza o eixo $ x $, vamos dividir o intervalo de x a -1 em partes onde a função está acima ou abaixo do eixo. Isso é importante porque a área é sempre positiva, então vamos considerar o valor absoluto da função em cada intervalo.
Analisando os intervalos:
  • De 8 a -1: $ f(x) $ é positivo.
  • De 0 a f(x) : $ f(x) $ é negativo.
  • De 0 a 1: $ f(x) $ é negativo.

Passo 4

Vamos montar as integrais para cada intervalo identificado:
  1. De -1 a 0:
Área1 = integral-1^0 (raiz[3]x - x) , dx Á
  1. De 0 a 1:
Área2 = integral0^1 |,raiz[3]x - x,| , dx = integral0^1 (x - raiz[3]x) , dx Á
  1. De 1 a 8:
Área3 = integral1^8 |,raiz[3]x - x,| , dx = integral1^8 (x - raiz[3]x) , dx Á
Note que nos intervalos onde $ f(x) $ é negativo, inverti a ordem dentro da integral para garantir que a área seja positiva.

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Calculando Área1Á:
integral-1^0 (raiz[3]x - x) , dx
Lembrando que $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $, a integral fica:
raiz[3]x = x^1/3
  1. Calculando [ 34x^4/3 - 12x^2 ]-1^0 = (0 - 0) - ( 34(-1)^4/3 - 12(-1)^2 ) = 0 - ( 34(1) - 12(1) ) = -( 34 - 12 ) = -( 14 ) = 14 Á:
Área2
Como estamos considerando o valor absoluto, essa área também é $ \frac{1}{4} $.
  1. Calculando integral0^1 (x - x^1/3) , dx = [ 12x^2 - 34x^4/3 ]0^1 = ( 12 - 34 ) - (0 - 0) = 12 - 34 = -14 Á:
14
Calculando em $ x = 8 $:
Área3
Calculando em $ x = 1 $:
integral1^8 (x - x^1/3) , dx = [ 12x^2 - 34x^4/3 ]1^8
Então:
x = 8

Resposta

A área total da região limitada pela curva $ y = \sqrt[3]{x} - x $ e pelo eixo $ x $ no intervalo de y = raiz[3]x - x a x é:
-1Áá
Ou seja, $ \boxed{\dfrac{83}{4}} $.

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