Utilize as transformadas já conhecidas para calcular as seguintes transformadas:
f(t)=\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2}.
Vamos usar duas ideias principais: expandir o quadrado para escrever f(t) como combinação de funções cujas transformadas já conhecemos e então aproveitar a linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Expandindo o quadrado, temos
f(t)=\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2} =e^{2t}-2\underbrace{e^{t}e^{-t}}_{=1}+e^{-2t} =e^{2t}-2+e^{-2t}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{e^{2t}\} -2\,\mathcal{L}\{1\} +\mathcal{L}\{e^{-2t}\}.

Passo 4

Usamos as fórmulas conhecidas:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{s-2},\quad \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2},\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
Substituindo em \mathcal{L}\{f(t)\}, obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{s-2}-2\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{s+2}.

Passo 5

Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador s(s^2-4):
\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}-\frac{2}{s} =\frac{s(s+2)+s(s-2)-2(s^2-4)}{s(s^2-4)} =\frac{8}{s(s^2-4)}.

Resposta

\mathcal{L}\{(e^{t}-e^{-t})^2\} =\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}-\frac{2}{s} =\frac{8}{s\,(s^2-4)}.

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