Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a Transformada de Laplace de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita como uma integral de convolução (observe a forma
multiplicando ). - Queremos
(quando existir).
Passo 2
Lembrete rápido sobre o que vamos usar (explicação didática):
- A Transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
numa certa região (normalmente
algo).
- Teorema da convolução: se
, então
desde que as transformadas existam. Isso é muito útil porque transforma uma integral em um produto simples — perfeito para prova rápida.
Passo 3
Reconhecendo a convolução e identificando as funções:
- Comparando com a definição, podemos tomar
Então
Aplicando o teorema da convolução, teremos
Passo 4
Calcular
e
separadamente (passo a passo):
- Para
:
válido para
, isto é,
.
- Para
: uma forma rápida de obter a transformada é usar a exponencial complexa . Então
A integral vale
quando
. Tomando a parte real,
válido para
.
Passo 5
Multiplicando as transformadas (aplicando o teorema da convolução):
Região de validade: a interseção das regiões onde cada transformada existe é
, então a expressão acima é válida para
.