Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
b) f(t)=\int_{0}^{t} e^{-2(t-\tau)} \cos \tau d \tau

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\int_{0}^{t} e^{-2(t-\tau)}\cos\tau\,d\tau
e pede para calcular a Transformada de Laplace de f(t).
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma integral de convolução (observe a forma e^{-2(t-\tau)} multiplicando \cos\tau).
  • Queremos \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt (quando existir).

Passo 2

Lembrete rápido sobre o que vamos usar (explicação didática):
  • A Transformada de Laplace de uma função x(t) é definida por
\mathcal{L}\{x\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} x(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s numa certa região (normalmente \operatorname{Re}(s)> algo).
  • Teorema da convolução: se x(t)=(g*h)(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} g(t-\tau)h(\tau)\,d\tau, então
\mathcal{L}\{x\}(s)=\mathcal{L}\{g\}(s)\,\mathcal{L}\{h\}(s),
desde que as transformadas existam. Isso é muito útil porque transforma uma integral em um produto simples — perfeito para prova rápida.

Passo 3

Reconhecendo a convolução e identificando as funções:
  • Comparando com a definição, podemos tomar
g(t)=e^{-2t},\qquad h(t)=\cos t.
Então
f(t)=(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(t-\tau) h(\tau)\,d\tau=\int_0^t e^{-2(t-\tau)}\cos\tau\,d\tau.
Aplicando o teorema da convolução, teremos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\mathcal{L}\{g\}(s)\,\mathcal{L}\{h\}(s).

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{g\}(s) e \mathcal{L}\{h\}(s) separadamente (passo a passo):
  • Para g(t)=e^{-2t}:
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-2t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt=\frac{1}{s+2},
válido para \operatorname{Re}(s+2)>0, isto é, \operatorname{Re}(s)>-2.
  • Para h(t)=\cos t: uma forma rápida de obter a transformada é usar a exponencial complexa \cos t=\operatorname{Re}(e^{it}). Então
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\operatorname{Re}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{it}\,dt\right)=\operatorname{Re}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt\right).
A integral vale \dfrac{1}{s-i} quando \operatorname{Re}(s)>0. Tomando a parte real,
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{s-i}\right)=\frac{s}{s^{2}+1},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Multiplicando as transformadas (aplicando o teorema da convolução):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)\cdot\mathcal{L}\{\cos t\}(s) =\frac{1}{s+2}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}=\frac{s}{(s+2)(s^{2}+1)}.
Região de validade: a interseção das regiões onde cada transformada existe é \operatorname{Re}(s)>0, então a expressão acima é válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{s}{(s+2)(s^{2}+1)},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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