Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função dada.
- A função dada é
- Informação útil extraída: a função só começa a ser não nula a partir de
; para ela vale .]
Passo 2
Lembrete da definição de Transformada de Laplace e o que vamos usar.
- Definição: para uma função
definida em , a Transformada de Laplace é
onde
é um número complexo e a integral converge para valores de
com parte real suficientemente grande. Normalmente, para funções polinomiais multiplicadas por exponenciais, a região de convergência é
. Vou explicitar a região de convergência ao final.
Passo 3
Reescrever [f(t)) usando a função degrau (Heaviside) — isso facilita aplicar um teorema padrão.
- Definição da função degrau deslocada: , podemos escrever
porque para
o degrau anula a expressão e para
temos
e
.
Passo 4
Apresentar o teorema do deslocamento no tempo (teorema da função degrau) e explicar o que cada símbolo significa.
- Teorema (deslocamento no tempo): se uma função pode ser escrita como
com , então
onde
.
- Interpretação: o fator
aparece por causa do deslocamento temporal; é a Transformada de Laplace da forma “não deslocada” . - No nosso caso escolhemos
e porque com .
Passo 5
Calcular
para
. Vou mostrar isso passo a passo (integração por partes) para você entender e poder repetir na prova.
- Queremos calcular
- Use integração por partes com
e . Então e (assumindo para convergência). - Aplicando integração por partes:
- Avaliando o primeiro termo: quando
temos se ; em o termo é zero. Então o primeiro termo resulta em . - O segundo termo é
. Essa integral dá (novamente para ), logo
- Portanto
para .
Passo 6
Aplicar o teorema do deslocamento no tempo ao nosso
.
- Como vimos,
com e . - Pelo teorema,
Passo 7
(Faça uma verificação alternativa via integral direta — isso ajuda a confiar no resultado e é bom para a prova.)
- Pela definição direta:
pois
em
.
- Faça a mudança de variável
, então , e os limites passam de e . A integral fica
- Sabemos pela conta do Passo 5 que
para . Assim novamente obtemos