Defina Grupo e dê exemplo, verificando (no exemplo) as condições da definição.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) dar uma definição de “grupo” e (2) fornecer um exemplo e, nesse exemplo, verificar as condições da definição. As informações que eu tenho agora são só isso — vou então escrever a definição formal e escolher um exemplo simples e bem conhecido para verificar passo a passo as propriedades exigidas.

Passo 2

Definição (formal, em linguagem simples). Um par ordenado (G,\ast) é chamado de grupo se satisfizer quatro propriedades. Vou escrever cada propriedade em forma matemática e depois explicar o que significa com palavras e com as variáveis bem identificadas.
\text{(Fechamento)}\qquad \forall a,b\in G,\; a\ast b\in G.
Explicação: aqui G é um conjunto (coleção) de elementos e \ast é uma operação que pega dois elementos de G e dá outro elemento. A propriedade de fechamento diz que, quando eu aplico \ast em quaisquer a e b de G, o resultado continua dentro de G. Exemplo numérico simples: se G fossem inteiros e \ast a soma, somar dois inteiros dá sempre um inteiro.
\text{(Associatividade)}\qquad \forall a,b,c\in G,\; (a\ast b)\ast c = a\ast(b\ast c).
Explicação: associatividade diz que a ordem de agrupar as operações não importa; só a ordem dos elementos importa. As variáveis a,b,c são elementos quaisquer de G.
\text{(Elemento neutro)}\qquad \exists e\in G\\ \text{tal que}\\ \forall a\in G,\; e\ast a = a \\ \text{e}\\ a\ast e = a.
Explicação: existe um elemento e em G que, ao ser combinado com qualquer a por \ast, não altera a. Esse e é chamado identidade ou elemento neutro.
\text{(Inversos)}\qquad \forall a\in G,\\ \exists b\in G\\ \text{tal que}\\ a\ast b = b\ast a = e,
onde e é o neutro acima.
Explicação: para cada elemento a existe outro elemento b (chamado inverso de a) que combina com a e produz o neutro e. Observação: muitas vezes os livros pedem também que a operação seja fechada e bem definida; assumi isso ao usar \ast.
Observação extra (não obrigatória na definição): se além disso vale a\ast b = b\ast a para todos a,b, dizemos que o grupo é abeliano ou comutativo.

Passo 3

Escolha do exemplo a verificar. Vou usar o exemplo clássico e simples:
(\mathbb{Z},+),
onde \mathbb{Z} é o conjunto dos números inteiros \{\dots,-2,-1,0,0,1,2,\dots\} e + é a soma usual. Vou checar cada uma das quatro propriedades da definição para este par.

Passo 4

Verificação — Fechamento. Preciso mostrar que, para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}, o resultado a+b também está em \mathbb{Z}.
Raciocínio: a definição dos inteiros inclui que somar dois inteiros produz um inteiro (é uma propriedade básica dos inteiros). Exemplo concreto: 2+3=5 e -4+7=3, ambos inteiros. Formalmente, a operação de soma foi definida sobre \mathbb{Z} com essa propriedade, então a condição de fechamento é satisfeita.

Passo 5

Verificação — Associatividade. Preciso mostrar que, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Z},
(a+b)+c = a+(b+c).
Raciocínio: a soma usual de números é associativa; isso significa que não importa se adiciono primeiro a com b e depois somo c, ou somo b com c e depois a. Exemplo numérico: (1+2)+3 = 3+3 =6 e 1+(2+3)=1+5=6. A associatividade da soma é uma propriedade axiomática das operações numéricas inteiras, portanto vale para todos a,b,c\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificação — Elemento neutro. Preciso encontrar e\in\mathbb{Z} tal que, para todo a\in\mathbb{Z},
e+a = a \quad\text{e}\quad a+e = a.
Raciocínio: o número 0 tem exatamente essa propriedade para a soma. De fato, para qualquer a\in\mathbb{Z} vale 0+a=a e a+0=a. Portanto e=0 é o elemento neutro em (\mathbb{Z},+).

Passo 7

Verificação — Inversos. Para cada a\in\mathbb{Z} devo encontrar b\in\mathbb{Z} tal que
a+b = b+a = 0,
onde 0 é o neutro já identificado.
Raciocínio: para cada inteiro a o seu inverso aditivo é -a, que também é inteiro. Verificamos: a+(-a)=0 e (-a)+a=0. Exemplos: para a=5 tem-se -5 e 5+(-5)=0; para a=-3 tem-se -(-3)=3 e -3+3=0. Assim, todo elemento tem inverso em \mathbb{Z}.

Passo 8

Conclusão sobre o exemplo. Como (\mathbb{Z},+) satisfaz fechamento, associatividade, possui elemento neutro 0 e cada elemento tem inverso -a, então (\mathbb{Z},+) é de fato um grupo. Além disso, como para todos a,b\in\mathbb{Z} vale a+b=b+a, esse grupo é abeliano (comutativo).

Passo 9

Comentário final e outro exemplo rápido (para contexto). Se quiser um exemplo não comutativo, o conjunto das permutações de três objetos com a composição de funções — denotado por S_3 — é um grupo não abeliano (ou seja, em geral \sigma\tau \neq \tau\sigma). Isso mostra que grupos podem ser comutativos ou não; o exemplo dos inteiros com a soma é um caso bem simples e, por isso, ótimo para entender a definição.

Resposta

Definição: Um grupo é um par (G,\ast) onde G é um conjunto e \ast uma operação binária em G tal que (i) \forall a,b\in G,\; a\ast b\in G (fechamento), (ii) \forall a,b,c\in G,\; (a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c) (associatividade), (iii) \exists e\in G com \forall a\in G,\; e\ast a=a\ast e=a (elemento neutro), (iv) \forall a\in G,\\ \exists b\in G tal que a\ast b=b\ast a=e (inversos).
Exemplo verificado: (\mathbb{Z},+). Verificação: fechamento porque soma de inteiros é inteiro; associatividade porque a soma é associativa; neutro 0 pois 0+a=a; inverso de a é -a pois a+(-a)=0. Logo (\mathbb{Z},+) é um (abeliano) grupo.

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