Defina Grupo e dê exemplo, verificando (no exemplo) as condições da definição.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) dar uma definição de “grupo” e (2) fornecer um exemplo e, nesse exemplo, verificar as condições da definição. As informações que eu tenho agora são só isso — vou então escrever a definição formal e escolher um exemplo simples e bem conhecido para verificar passo a passo as propriedades exigidas.
Passo 2
Definição (formal, em linguagem simples). Um par ordenado
é chamado de grupo se satisfizer quatro propriedades. Vou escrever cada propriedade em forma matemática e depois explicar o que significa com palavras e com as variáveis bem identificadas.
Explicação: aqui
é um conjunto (coleção) de elementos e
é uma operação que pega dois elementos de
e dá outro elemento. A propriedade de fechamento diz que, quando eu aplico
em quaisquer
e
de
, o resultado continua dentro de
. Exemplo numérico simples: se
fossem inteiros e
a soma, somar dois inteiros dá sempre um inteiro.
Explicação: associatividade diz que a ordem de agrupar as operações não importa; só a ordem dos elementos importa. As variáveis
são elementos quaisquer de
.
Explicação: existe um elemento
em
que, ao ser combinado com qualquer
por
, não altera
. Esse
é chamado identidade ou elemento neutro.
onde
é o neutro acima.
Explicação: para cada elemento
existe outro elemento
(chamado inverso de
) que combina com
e produz o neutro
. Observação: muitas vezes os livros pedem também que a operação seja fechada e bem definida; assumi isso ao usar
.
Observação extra (não obrigatória na definição): se além disso vale
para todos
, dizemos que o grupo é abeliano ou comutativo.
Passo 3
Escolha do exemplo a verificar. Vou usar o exemplo clássico e simples:
onde
é o conjunto dos números inteiros
e
é a soma usual. Vou checar cada uma das quatro propriedades da definição para este par.
Passo 4
Verificação — Fechamento. Preciso mostrar que, para quaisquer
, o resultado
também está em
.
Raciocínio: a definição dos inteiros inclui que somar dois inteiros produz um inteiro (é uma propriedade básica dos inteiros). Exemplo concreto:
e
, ambos inteiros. Formalmente, a operação de soma foi definida sobre
com essa propriedade, então a condição de fechamento é satisfeita.
Passo 5
Verificação — Associatividade. Preciso mostrar que, para quaisquer
,
Raciocínio: a soma usual de números é associativa; isso significa que não importa se adiciono primeiro
com
e depois somo
, ou somo
com
e depois
. Exemplo numérico:
e
. A associatividade da soma é uma propriedade axiomática das operações numéricas inteiras, portanto vale para todos
.
Passo 6
Verificação — Elemento neutro. Preciso encontrar
tal que, para todo
,
Raciocínio: o número
tem exatamente essa propriedade para a soma. De fato, para qualquer
vale
e
. Portanto
é o elemento neutro em
.
Passo 7
Verificação — Inversos. Para cada
devo encontrar
tal que
onde
é o neutro já identificado.
Raciocínio: para cada inteiro
o seu inverso aditivo é
, que também é inteiro. Verificamos:
e
. Exemplos: para
tem-se
e
; para
tem-se
e
. Assim, todo elemento tem inverso em
.
Passo 8
Conclusão sobre o exemplo. Como
satisfaz fechamento, associatividade, possui elemento neutro
e cada elemento tem inverso
, então
é de fato um grupo. Além disso, como para todos
vale
, esse grupo é abeliano (comutativo).
Passo 9
Comentário final e outro exemplo rápido (para contexto). Se quiser um exemplo não comutativo, o conjunto das permutações de três objetos com a composição de funções — denotado por
— é um grupo não abeliano (ou seja, em geral
). Isso mostra que grupos podem ser comutativos ou não; o exemplo dos inteiros com a soma é um caso bem simples e, por isso, ótimo para entender a definição.
Resposta
Definição: Um grupo é um par
onde
é um conjunto e
uma operação binária em
tal que (i)
(fechamento), (ii)
(associatividade), (iii)
com
(elemento neutro), (iv)
tal que
(inversos).
Exemplo verificado:
. Verificação: fechamento porque soma de inteiros é inteiro; associatividade porque a soma é associativa; neutro
pois
; inverso de
é
pois
. Logo
é um (abeliano) grupo.