Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
definida para (padrão para transformada de Laplace). - Precisamos obter
(a transformada em função de ) e a região de convergência em onde a integral converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de uma função
é
Aqui:
-
é a variável no domínio temporal (tempo), com ; -
é a variável complexa da transformada (podemos tratá-la aqui como um número real quando discutimos convergência real); - A integral imprópria precisa convergir: isso impõe condições sobre
, a parte real de .
Também usamos a propriedade da linearidade: para
,
Isso permite transformar cada termo separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Calcular a transformada do primeiro termo
. Aplicando a definição:
Integramos a exponencial:
Avaliação do limite impróprio:
Para que
precisamos de
. Então:
Passo 4
Calcular a transformada do segundo termo
. Pela definição:
Isto é outra integral exponencial. Integrando,
Avaliação do limite:
Para que
precisamos de
, ou seja
. Então:
Passo 5
Agora usamos a linearidade (soma dos resultados dos termos). Assim
Sobre a região de convergência: cada termo precisa convergir simultaneamente.
exige
e
exige
. A interseção é
. Portanto a expressão acima é válida para
.