Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=1+e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=1+e^{3t}.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=1+e^{3t} definida para t\ge 0 (padrão para transformada de Laplace).
  • Precisamos obter \mathcal{L}\{f\}(s) (a transformada em função de s) e a região de convergência em s onde a integral converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável no domínio temporal (tempo), com t\ge 0;
  • s é a variável complexa da transformada (podemos tratá-la aqui como um número real s quando discutimos convergência real);
  • A integral imprópria precisa convergir: isso impõe condições sobre \Re(s), a parte real de s.
Também usamos a propriedade da linearidade: para g(t)=g_1(t)+g_2(t),
\mathcal{L}\{g\}(s)=\mathcal{L}\{g_1\}(s)+\mathcal{L}\{g_2\}(s).
Isso permite transformar cada termo separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Calcular a transformada do primeiro termo 1. Aplicando a definição:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 1\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Integramos a exponencial:
\int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-s t}\quad(\text{para }s\neq 0).
Avaliação do limite impróprio:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s T}\right) - \left(-\frac{1}{s}e^{-s\cdot 0}\right).
Para que \lim_{T\to\infty}e^{-sT}=0 precisamos de \Re(s)>0. Então:
\mathcal{L}\{1\}(s)=0 + \frac{1}{s} = \frac{1}{s},\quad \text{valido para }\Re(s)>0.

Passo 4

Calcular a transformada do segundo termo e^{3t}. Pela definição:
\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{3t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-3)t}\,dt.
Isto é outra integral exponencial. Integrando,
\int e^{-(s-3)t}\,dt = -\frac{1}{s-3}e^{-(s-3)t}\quad(\text{para }s\neq 3).
Avaliação do limite:
\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\left[-\frac{1}{s-3}e^{-(s-3)t}\right]_{0}^{\infty} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s-3}e^{-(s-3)T}\right) - \left(-\frac{1}{s-3}\right).
Para que \lim_{T\to\infty}e^{-(s-3)T}=0 precisamos de \Re(s-3)>0, ou seja \Re(s)>3. Então:
\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=0 + \frac{1}{s-3} = \frac{1}{s-3},\quad \text{valido para }\Re(s)>3.

Passo 5

Agora usamos a linearidade (soma dos resultados dos termos). Assim
\mathcal{L}\{f\}(s)=\mathcal{L}\{1\}(s)+\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s-3}.
Sobre a região de convergência: cada termo precisa convergir simultaneamente. \mathcal{L}\{1\} exige \Re(s)>0 e \mathcal{L}\{e^{3t}\} exige \Re(s)>3. A interseção é \Re(s)>3. Portanto a expressão acima é válida para \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s-3}, válido para \Re(s)>3.

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