Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
para . - Queremos calcular
, isto é, a transformada de Laplace dessa função.
Passo 2
Definição e propriedade que vamos usar (explicação didática):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
Aqui
é uma variável complexa; na prática para funções trigonométricas a integral converge quando
.\n
- Uma propriedade essencial (e muito útil) é a linearidade:
ou seja, podemos transformar cada termo separadamente e somar/subtrair os resultados.
Passo 3
Vamos calcular a transformada de
de forma geral (aumenta a compreensão para qualquer
). Defina
Fazemos integração por partes duas vezes (vou mostrar passo a passo). Escolha
e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
Agora avalia o termo de fronteira: para
,
quando
; em
temos
. Assim o termo de fronteira dá
. O integral restante fica
Denotando
temos a relação
Passo 4
Agora calculamos
por integração por partes também. Tome
e
. Então
e
. Aplicando:
O termo de fronteira é zero porque
e
no infinito; portanto
Substituindo essa expressão de
na relação obtida no passo anterior:
Agora isolamos
:
Portanto obtivemos a fórmula (muito usada) para a transformada de
:
Passo 5
Usando a relação
que obtivemos, já podemos escrever a transformada de
:
Passo 6
Agora aplicamos estes resultados ao caso
. Assim:
Passo 7
Usando linearidade da transformada para
:
Fatorando o denominador comum:
Passo 8
Comentário final e domínio: a expressão é válida para
, que é a região de convergência para essas funções trigonométricas multiplicadas por
.