Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\cos (4 t)-\sin (4 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=\cos(4t)-\sin(4t).\n
Informações dadas:
  • A função é f(t)=\cos(4t)-\sin(4t) para t\ge 0.
  • Queremos calcular \mathcal{L}\{f\}(s), isto é, a transformada de Laplace dessa função.

Passo 2

Definição e propriedade que vamos usar (explicação didática):
  • A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt.
Aqui s é uma variável complexa; na prática para funções trigonométricas a integral converge quando \operatorname{Re}(s)>0.\n
  • Uma propriedade essencial (e muito útil) é a linearidade:
\mathcal{L}\{a\,g_1(t)+b\,g_2(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g_1\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g_2\}(s),
ou seja, podemos transformar cada termo separadamente e somar/subtrair os resultados.

Passo 3

Vamos calcular a transformada de \cos(at) de forma geral (aumenta a compreensão para qualquer a). Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(at)\,dt.
Fazemos integração por partes duas vezes (vou mostrar passo a passo). Escolha u=\cos(at) e dv=e^{-st}dt. Então du=-a\sin(at)dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando integração por partes:
I=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(at)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\left(-a\sin(at)\right)dt.
Agora avalia o termo de fronteira: para \operatorname{Re}(s)>0, e^{-st}\to 0 quando t\to\infty; em t=0 temos -\frac{1}{s}\cos(0)=-\frac{1}{s}. Assim o termo de fronteira dá 0-(-\frac{1}{s})=\frac{1}{s}. O integral restante fica
I=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt.
Denotando
J=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt,
temos a relação
I=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}J.

Passo 4

Agora calculamos J por integração por partes também. Tome u=\sin(at) e dv=e^{-st}dt. Então du=a\cos(at)dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando:
J=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\sin(at)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\left(a\cos(at)\right)dt.
O termo de fronteira é zero porque \sin(0)=0 e e^{-st}\to 0 no infinito; portanto
J=\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt=\frac{a}{s}I.
Substituindo essa expressão de J na relação obtida no passo anterior:
I=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}\left(\frac{a}{s}I\right)=\frac{1}{s}-\frac{a^{2}}{s^{2}}I.
Agora isolamos I:
I\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad I=\frac{1}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto obtivemos a fórmula (muito usada) para a transformada de \cos(at):
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\quad\text{(para \(\operatorname{Re}(s)>0\)).}

Passo 5

Usando a relação J=\dfrac{a}{s}I que obtivemos, já podemos escrever a transformada de \sin(at):
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=J=\frac{a}{s}I=\frac{a}{s}\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Agora aplicamos estes resultados ao caso a=4. Assim:
\mathcal{L}\{\cos(4t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+16},
\mathcal{L}\{\sin(4t)\}(s)=\frac{4}{s^{2}+16}.

Passo 7

Usando linearidade da transformada para f(t)=\cos(4t)-\sin(4t):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{s}{s^{2}+16}-\frac{4}{s^{2}+16}.
Fatorando o denominador comum:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{s-4}{s^{2}+16}.

Passo 8

Comentário final e domínio: a expressão é válida para \operatorname{Re}(s)>0, que é a região de convergência para essas funções trigonométricas multiplicadas por e^{-st}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{s-4}{s^{2}+16}
\operatorname{Re}(s)>0

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