Resolva os seguintes PVI usando a Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y=\sin (2 t), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial:
y''+4y=\sin(2t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Pergunta: encontrar a solução y(t) que satisfaça essa equação diferencial e as condições iniciais. As informações relevantes são a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, o termo forçante \sin(2t) e as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.

Passo 2

Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro recolher as fórmulas que vamos precisar e explicar o que cada coisa significa:
Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde t é a variável no tempo e s é a variável complexa (no cálculo prático tratamos s como parâmetro real maior que certo valor para convergência).
Propriedades importantes (derivadas):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Transformada conhecida:
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
No nosso caso a=2, portanto
\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+4\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s).
Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, obtemos
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+4Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1:
s^{2}Y(s)-1+4Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.
Agrupando Y(s):
\big(s^{2}+4\big)Y(s)-1=\frac{2}{s^{2}+4}.
Isolando Y(s):
\big(s^{2}+4\big)Y(s)=1+\frac{2}{s^{2}+4}.
Dividindo por s^{2}+4:
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+4}+\frac{2}{(s^{2}+4)^{2}}.

Passo 4

Agora vamos inverter a transformada termo a termo. Primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}(t)=\frac{1}{2}\sin(2t),
pois \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}, então dividir por 2 \dfrac{1}{s^{2}+4}.
Segundo termo: precisamos da inversa de \dfrac{2}{(s^{2}+4)^{2}}. Vamos calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right\} em geral e depois pôr a=2.
Considere F(s)=\dfrac{1}{(s^{2}+a^{2})^{2}}. Note que
\frac{1}{s^{2}+a^{2}}=\mathcal{L}\!\left\{\frac{1}{a}\sin(at)\right\}(s),
então F(s) é o quadrado dessa transformada e sua inversa é a convolução:
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=\left(\frac{1}{a}\sin(at)\right)*\left(\frac{1}{a}\sin(at)\right)(t).
Calcule a convolução:
\begin{aligned} \left(\frac{1}{a}\sin(at)\right)*\left(\frac{1}{a}\sin(at)\right)(t) &=\frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{t}\sin(a\tau)\sin\big(a(t-\tau)\big)\,d\tau. \end{aligned}
Usando a identidade trigonométrica
\sin x\sin y=\tfrac{1}{2}\big(\cos(x-y)-\cos(x+y)\big),
temos
\sin(a\tau)\sin\big(a(t-\tau)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(a(2\tau-t))-\cos(at)\big).
Então
\begin{aligned} \frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{t}\sin(a\tau)\sin\big(a(t-\tau)\big)\,d\tau &=\frac{1}{2a^{2}}\left(\int_{0}^{t}\cos(a(2\tau-t))\,d\tau-\int_{0}^{t}\cos(at)\,d\tau\right). \end{aligned}
Calcule as integrais: para a primeira, trocando variável u=2\tau-t
\int_{0}^{t}\cos(a(2\tau-t))\,d\tau=\frac{1}{a}\sin(at),
e para a segunda, \int_{0}^{t}\cos(at)\,d\tau=t\cos(at) (note que aqui \cos(at) é constante em \tau). Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right\}(t) =\frac{1}{2a^{2}}\left(\frac{1}{a}\sin(at)-t\cos(at)\right).
Isso simplifica para
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right\}(t) =\frac{1}{2a^{3}}\sin(at)-\frac{1}{2a^{2}}\,t\cos(at).
Agora coloque a=2. Então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s^{2}+4)^{2}}\right\}(t) =\frac{1}{2\cdot 8}\sin(2t)-\frac{1}{2\cdot 4}\,t\cos(2t) =\frac{1}{16}\sin(2t)-\frac{1}{8}t\cos(2t).
Multiplicando por 2 (porque o segundo termo de Y(s) é \dfrac{2}{(s^{2}+4)^{2}}) obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s^{2}+4)^{2}}\right\}(t) =\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{1}{4}t\cos(2t).
Somando as duas partes (primeiro termo \tfrac{1}{2}\sin(2t) mais este resultado):
y(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)+\left(\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{1}{4}t\cos(2t)\right).
Somando os coeficientes de \sin(2t):
\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}.
Portanto
y(t)=\frac{5}{8}\sin(2t)-\frac{1}{4}t\cos(2t).

Passo 5

Verificação rápida das condições iniciais para nos deixar confiantes: em t=0, \sin(0)=0 e \cos(0)=1, então y(0)=0 (ok). Derivando
y'(t)=\frac{5}{8}\cdot 2\cos(2t)-\frac{1}{4}\big(\cos(2t)-2t\sin(2t)\big) =\cos(2t)+\frac{1}{2}t\sin(2t),
logo y'(0)=\cos(0)=1 (ok). Assim a solução encontrada satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\frac{5}{8}\sin(2t)-\frac{1}{4}t\cos(2t)

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