Resolva os seguintes PVI usando a Transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado dá o problema inicial:
Pergunta: encontrar a solução
que satisfaça essa equação diferencial e as condições iniciais. As informações relevantes são a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, o termo forçante
e as condições iniciais
e
.
Passo 2
Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro recolher as fórmulas que vamos precisar e explicar o que cada coisa significa:
Definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável no tempo e
é a variável complexa (no cálculo prático tratamos
como parâmetro real maior que certo valor para convergência).
Propriedades importantes (derivadas):
onde
.
Transformada conhecida:
No nosso caso
, portanto
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denotando
, temos:
Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
e
, obtemos
Substituindo
e
:
Agrupando
:
Isolando
:
Dividindo por
:
Passo 4
Agora vamos inverter a transformada termo a termo. Primeiro termo:
pois
, então dividir por
dá
.
Segundo termo: precisamos da inversa de
. Vamos calcular
em geral e depois pôr
.
Considere
. Note que
então
é o quadrado dessa transformada e sua inversa é a convolução:
Calcule a convolução:
Usando a identidade trigonométrica
temos
Então
Calcule as integrais: para a primeira, trocando variável
dá
e para a segunda,
(note que aqui
é constante em
). Assim
Isso simplifica para
Agora coloque
. Então
Multiplicando por
(porque o segundo termo de
é
) obtemos
Somando as duas partes (primeiro termo
mais este resultado):
Somando os coeficientes de
:
Portanto
Passo 5
Verificação rápida das condições iniciais para nos deixar confiantes: em
,
e
, então
(ok). Derivando
logo
(ok). Assim a solução encontrada satisfaz as condições iniciais.