Encontre a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace inversa da expressão
Informações dadas:
O que se pede:
- Determinar
tal que , ou seja, calcular .
Passo 2
Revisando fórmulas úteis (aula rápida):
- Sabemos as transformadas de Laplace básicas para seno e cosseno:
Aqui
é a variável complexa da transformada e
é a frequência do seno/cosseno. Essas fórmulas vêm do cálculo da integral
mas não preciso repetir toda a derivação agora: o importante é decorá-las e saber quando aplicá-las.
- Teorema do deslocamento (no domínio
) — versão prática:
ou seja, multiplicar por
no tempo desloca
para
na transformada. Inversamente,
Aqui
é o parâmetro do expoente,
é a função cuja transformada é
.
- Aplicando essas fórmulas: a transformada
é a transformada de
e
é a transformada de
.
Passo 3
Vamos manipular
para colocá-la numa forma que case com as fórmulas acima. Observe que podemos escrever
como
. Assim:
Isto é, dividimos em duas parcelas que ficam mais fáceis de reconhecer.
Passo 4
Agora vamos identificar cada parcela com as transformadas padronizadas:
- A primeira parcela
tem a forma
com
e
. Portanto, por correspondência,
- A segunda parcela
não corresponde diretamente à forma
, porque o numerador aí é
. Mas podemos escrever
Agora a fração
tem a forma
com
e
, cuja inversa é
. Multiplicando pelo fator
que puxamos, obtemos:
Passo 5
Somando as duas inversas (linearidade da transformada inversa), temos a função tempo:
Fatorando
para ficar mais compacto: