Encontre a transformada de Laplace inversa:
\frac{s}{(s-1)^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace inversa da expressão
\frac{s}{(s-1)^{2}+4}.
Informações dadas:
\text{A função no domínio de }s\text{ é }F(s)=\frac{s}{(s-1)^{2}+4}.çãíé
O que se pede:
  • Determinar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), ou seja, calcular \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Revisando fórmulas úteis (aula rápida):
  • Sabemos as transformadas de Laplace básicas para seno e cosseno:
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Aqui s é a variável complexa da transformada e b é a frequência do seno/cosseno. Essas fórmulas vêm do cálculo da integral
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(bt)\,dt \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(bt)\,dt,
mas não preciso repetir toda a derivação agora: o importante é decorá-las e saber quando aplicá-las.
  • Teorema do deslocamento (no domínio s) — versão prática:
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}=G(s-a),
ou seja, multiplicar por e^{at} no tempo desloca s para s-a na transformada. Inversamente,
\mathcal{L}^{-1}\{G(s-a)\}=e^{at}g(t).
Aqui a é o parâmetro do expoente, g(t) é a função cuja transformada é G(s).
  • Aplicando essas fórmulas: a transformada
\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}
é a transformada de \;e^{at}\cos(bt)\; e
\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
é a transformada de \;e^{at}\sin(bt)\;.

Passo 3

Vamos manipular F(s) para colocá-la numa forma que case com as fórmulas acima. Observe que podemos escrever s como (s-1)+1. Assim:
\frac{s}{(s-1)^{2}+4} = \frac{(s-1)+1}{(s-1)^{2}+4} = \frac{s-1}{(s-1)^{2}+4} + \frac{1}{(s-1)^{2}+4}.
Isto é, dividimos em duas parcelas que ficam mais fáceis de reconhecer.

Passo 4

Agora vamos identificar cada parcela com as transformadas padronizadas:
  • A primeira parcela
\frac{s-1}{(s-1)^{2}+4}
tem a forma \dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=1 e b^{2}=4\Rightarrow b=2. Portanto, por correspondência,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-1}{(s-1)^{2}+4}\right\}=e^{t}\cos(2t).
  • A segunda parcela
\frac{1}{(s-1)^{2}+4}
não corresponde diretamente à forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, porque o numerador aí é b. Mas podemos escrever
\frac{1}{(s-1)^{2}+4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(s-1)^{2}+2^{2}}.
Agora a fração \dfrac{2}{(s-1)^{2}+2^{2}} tem a forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=1 e b=2, cuja inversa é e^{t}\sin(2t). Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que puxamos, obtemos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-1)^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\,e^{t}\sin(2t).

Passo 5

Somando as duas inversas (linearidade da transformada inversa), temos a função tempo:
f(t)=e^{t}\cos(2t)+\frac{1}{2}e^{t}\sin(2t).
Fatorando e^{t} para ficar mais compacto:
f(t)=e^{t}\!\left(\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right).

Resposta

e^{t}\left(\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right)

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