Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=3 e^{2 t}+2 \sin ^{2}(3 t)

Passo 1

Enunciado: calcular a transformada de Laplace de f(t)=3 e^{2 t}+2 \sin^{2}(3 t).
O que nos pedem: encontrar F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Informações dadas: a função f(t) está escrita como soma de duas parcelas, uma exponencial 3 e^{2t} e uma função trigonométrica 2\sin^{2}(3t).

Passo 2

Relembrando a definição e propriedades que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
A transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} g(t)\,dt,
desde que a integral convirja.
Propriedade importante (linearidade): para constantes a,b e funções g,h,
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
Vamos aplicar essa linearidade: transformada de f será soma das transformadas das parcelas.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{3 e^{2t}\}(s). Usamos a fórmula padrão (ou derivamos pela integral):
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\frac{1}{s-a},
desde que \mathrm{Re}(s-a)>0 (ou seja \mathrm{Re}(s)>a). Aqui a=2. Multiplicando por 3 (linearidade),
\mathcal{L}\{3 e^{2t}\}(s)=\frac{3}{s-2},
válido para \mathrm{Re}(s)>2.

Passo 4

Tratar \mathcal{L}\{2\sin^{2}(3t)\}(s). Primeiro simplificamos a função usando identidade trigonométrica famosa:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Aplicando com x=3t:
\sin^{2}(3t)=\frac{1-\cos(6t)}{2}.
Multiplicando por 2:
2\sin^{2}(3t)=2\cdot\frac{1-\cos(6t)}{2}=1-\cos(6t).
Então
\mathcal{L}\{2\sin^{2}(3t)\}(s)=\mathcal{L}\{1\}(s)-\mathcal{L}\{\cos(6t)\}(s).

Passo 5

Usamos transformadas padrão:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}\quad(\mathrm{Re}(s)>0),
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\quad(\mathrm{Re}(s)>0).
Aqui \omega=6, logo
\mathcal{L}\{1\}(s)-\mathcal{L}\{\cos(6t)\}(s)=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+36}.
Simplificamos essa diferença colocando sobre um denominador comum:
\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+36}=\frac{s^{2}+36-s^{2}}{s(s^{2}+36)}=\frac{36}{s(s^{2}+36)}.
Portanto
\mathcal{L}\{2\sin^{2}(3t)\}(s)=\frac{36}{s(s^{2}+36)},
válido para \mathrm{Re}(s)>0.

Passo 6

Somamos as duas parcelas (pela linearidade). A transformada buscada é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{3}{s-2}+\frac{36}{s(s^{2}+36)}.
A região de convergência é a interseção das regiões necessárias: \mathrm{Re}(s)>2 (vinda do termo exponencial) e \mathrm{Re}(s)>0 (vinda do termo trigonométrico). A interseção é \mathrm{Re}(s)>2. Boa! Você já tem a forma final e a condição em s.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{3}{s-2}+\frac{36}{s(s^{2}+36)}
Região de convergência: \mathrm{Re}(s)>2

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