Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado: calcular a transformada de Laplace de
.
O que nos pedem: encontrar .
Informações dadas: a função está escrita como soma de duas parcelas, uma exponencial
e uma função trigonométrica
.
O que nos pedem: encontrar
Informações dadas: a função
Passo 2
Relembrando a definição e propriedades que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
A transformada de Laplace de uma função é
A transformada de Laplace de uma função
desde que a integral convirja.
Propriedade importante (linearidade): para constantes e funções
,
Propriedade importante (linearidade): para constantes
Vamos aplicar essa linearidade: transformada de
será soma das transformadas das parcelas.
Passo 3
Calcular
. Usamos a fórmula padrão (ou derivamos pela integral):
desde que
(ou seja
). Aqui
. Multiplicando por
(linearidade),
válido para
.
Passo 4
Tratar
. Primeiro simplificamos a função usando identidade trigonométrica famosa:
Aplicando com
:
Multiplicando por
:
Então
Passo 5
Usamos transformadas padrão:
Aqui
, logo
Simplificamos essa diferença colocando sobre um denominador comum:
Portanto
válido para
.
Passo 6
Somamos as duas parcelas (pela linearidade). A transformada buscada é
A região de convergência é a interseção das regiões necessárias:
(vinda do termo exponencial) e
(vinda do termo trigonométrico). A interseção é
. Boa! Você já tem a forma final e a condição em
.
Resposta
Região de convergência: