Use a função degrau u_{c}(t)\) para determinar a transformada de Laplace de: \(f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por \[f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}.
Informações relevantes que temos: a função vale 0\] para \(0\le t<1 e vale 1 para t\ge 1. O enunciado sugere usar a função degrau u_{c}(t) (função de Heaviside) para representar f(t) e, a partir disso, calcular a transformada de Laplace.

Passo 2

Definição da função degrau e representação de [f(t)).
A função degrau centrada em c é a função u_{c}(t) definida por
u_{c}(t)=\begin{cases}0, & t<c,\\\\ 1, & t\ge c.\end{cases}
No nosso caso, como f(t)\] é zero até \(t=1 e vale 1 a partir de t=1, podemos escrever
f(t)=u_{1}(t).
Explicando com calma: u_{1}(t) “liga” o valor 1 exatamente em t=1, e antes disso é zero — é exatamente o comportamento de f(t).

Passo 3

Definição da transformada de Laplace e condições de convergência.
A transformada de Laplace de uma função g(t) (assumindo que g seja adequada para a transformada) é definida por
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-st}\,dt,
onde s é uma variável complexa. Para que essa integral converge normalmente precisamos de \operatorname{Re}(s)>0 no nosso caso (isso garante que e^{-st} decai quando t\to\infty). Aqui s é a variável na qual a transformada é função; pense em s como um parâmetro que controla o peso exponencial e^{-st} na integral.

Passo 4

Calcular a transformada de Laplace de f(t)=u_{1}(t) diretamente usando a definição.
Como f(t)=0 para 0\le t<1 e f(t)=1 para t\ge 1, na integral da transformada só contribui a parte t\ge 1. Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{1} 0\cdot e^{-st}\,dt + \int_{1}^{\infty} 1\cdot e^{-st}\,dt =\int_{1}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Agora calculamos a integral impropria. Para \operatorname{Re}(s)>0 temos
\int_{1}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{t=1}^{t\to\infty}.
Quando t\to\infty e \operatorname{Re}(s)>0, e^{-st}\to 0. Assim a expressão acima vira
\int_{1}^{\infty} e^{-st}\,dt = 0 -\left(-\frac{1}{s} e^{-s\cdot 1}\right)=\frac{e^{-s}}{s}.
Portanto, pela definição, a transformada de Laplace de f(t) é \dfrac{e^{-s}}{s} para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Interpretação e fórmula geral (aula rápida).
O que fizemos é um caso particular de uma regra geral: a transformada de Laplace do degrau deslocado u_{a}(t) (que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a) é
\mathcal{L}\{u_{a}(t)\}(s)=\frac{e^{-as}}{s},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.
Isso pode ser visto exatamente pelo mesmo cálculo: a integral começa em t=a e dá \int_{a}^{\infty} e^{-st}dt = e^{-as}/s. No exame, se você reconhecer a função como um degrau deslocado, já pode aplicar essa fórmula direto — salva tempo e evita integrais.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-s}}{s},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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