Use a função degrau u_{c}(t)\) para determinar a transformada de Laplace de:
\(f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por
\[f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}.
Informações relevantes que temos: a função vale 0\] para \(0\le t<1 e vale 1 para t\ge 1. O enunciado sugere usar a função degrau u_{c}(t) (função de Heaviside) para representar f(t) e, a partir disso, calcular a transformada de Laplace.
Passo 2
Definição da função degrau e representação de [f(t)).
A função degrau centrada em c é a função u_{c}(t) definida por
onde s é uma variável complexa. Para que essa integral converge normalmente precisamos de \operatorname{Re}(s)>0 no nosso caso (isso garante que e^{-st} decai quando t\to\infty). Aqui s é a variável na qual a transformada é função; pense em s como um parâmetro que controla o peso exponencial e^{-st} na integral.
Passo 4
Calcular a transformada de Laplace de f(t)=u_{1}(t) diretamente usando a definição.
Como f(t)=0 para 0\le t<1 e f(t)=1 para t\ge 1, na integral da transformada só contribui a parte t\ge 1. Portanto
Isso pode ser visto exatamente pelo mesmo cálculo: a integral começa em t=a e dá \int_{a}^{\infty} e^{-st}dt = e^{-as}/s. No exame, se você reconhecer a função como um degrau deslocado, já pode aplicar essa fórmula direto — salva tempo e evita integrais.