Resolva os seguintes PVI usando a Transformada de Laplace:
.
Passo 1
Enunciado e dados que temos:
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial com essas condições iniciais.
Passo 2
Vamos apresentar as ferramentas da Transformada de Laplace que vamos usar (com explicações didáticas):
- Definição da Transformada de Laplace: para uma função
(definida para ),
onde
é uma variável complexa (na prática, para resolver IVPs usamos
real e suficientemente grande).
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (resultado muito prático para PVI): se
, então
Essas fórmulas vêm de integrais por partes aplicadas à definição da transformada; o importante é saber usá-las: elas transformam derivadas em polinômios em
multiplicando
e introduzem os valores iniciais.
- Transformada de exponencial: para
real,
válido para
. No nosso caso, para
temos
- Fórmula útil para potências de
multiplicadas por exponencial: para inteiro ,
Isto pode ser lembrado a partir de
e da propriedade
. Vamos usar casos
e
abaixo.
Passo 3
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Chamando
, temos
Substituindo as fórmulas para derivadas e a transformada do termo da direita:
Agora substituímos os valores iniciais
e
:
Passo 4
Agrupamos os termos em
:
Observação:
. Então
Isolando
:
Portanto
Passo 5
Agora vamos manipular
para reconhecer transformadas inversas conhecidas. Escrevemos
Cada parcela tem uma transformada inversa conhecida:
-
, porque para a fórmula dá . -
, porque para a fórmula dá , então corresponde a .
Portanto a transformada inversa somando as duas parcelas é
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais (checar é sempre bom; isso dá confiança na resposta):
- Em
: , OK. - Derivando para checar
: usando regra do produto,
Logo
, OK. A solução satisfaz as condições iniciais.