Resolva os seguintes PVI usando a Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t}, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

Enunciado e dados que temos:
y''+2y'+y=e^{-t}, \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial com essas condições iniciais.

Passo 2

Vamos apresentar as ferramentas da Transformada de Laplace que vamos usar (com explicações didáticas):
  • Definição da Transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para resolver IVPs usamos s real e suficientemente grande).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformada de derivadas (resultado muito prático para PVI): se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm de integrais por partes aplicadas à definição da transformada; o importante é saber usá-las: elas transformam derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e introduzem os valores iniciais.
  • Transformada de exponencial: para a real,
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
válido para \Re(s)>a. No nosso caso, para e^{-t} temos
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
  • Fórmula útil para potências de t multiplicadas por exponencial: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^n e^{-at}\}=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}.
Isto pode ser lembrado a partir de \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a} e da propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}. Vamos usar casos n=1 e n=2 abaixo.

Passo 3

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Chamando \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), temos
\mathcal{L}\{y''\}+2\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{e^{-t}\}.
Substituindo as fórmulas para derivadas e a transformada do termo da direita:
\big(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)+2\big(sY(s)-y(0)\big)+Y(s)=\frac{1}{s+1}.
Agora substituímos os valores iniciais y(0)=0 e y'(0)=1:
s^2Y(s)-1 + 2sY(s) + Y(s)=\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Agrupamos os termos em Y(s):
\big(s^2+2s+1\big)Y(s)-1=\frac{1}{s+1}.
Observação: s^2+2s+1=(s+1)^2. Então
(s+1)^2 Y(s)-1=\frac{1}{s+1}.
Isolando Y(s):
(s+1)^2 Y(s)=1+\frac{1}{s+1}=\frac{s+1}{s+1}+\frac{1}{s+1}=\frac{s+2}{s+1}.
Portanto
Y(s)=\frac{s+2}{(s+1)^3}.

Passo 5

Agora vamos manipular Y(s) para reconhecer transformadas inversas conhecidas. Escrevemos
\frac{s+2}{(s+1)^3}=\frac{s+1}{(s+1)^3}+\frac{1}{(s+1)^3} =\frac{1}{(s+1)^2}+\frac{1}{(s+1)^3}.
Cada parcela tem uma transformada inversa conhecida:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^2}\right\}=t e^{-t}, porque para n=1 a fórmula dá \mathcal{L}\{t e^{-t}\}=\frac{1}{(s+1)^2}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^3}\right\}=\frac{t^2}{2} e^{-t}, porque para n=2 a fórmula dá \mathcal{L}\{t^2 e^{-t}\}=\frac{2}{(s+1)^3}, então \frac{1}{(s+1)^3} corresponde a \frac{t^2}{2}e^{-t}.
Portanto a transformada inversa somando as duas parcelas é
y(t)=t e^{-t}+\frac{t^2}{2}e^{-t}=e^{-t}\!\left(t+\frac{t^2}{2}\right).

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (checar é sempre bom; isso dá confiança na resposta):
  • Em t=0: y(0)=e^{0}\big(0+0\big)=0, OK.
  • Derivando para checar y'(0)=1: usando regra do produto,
y(t)=e^{-t}\left(t+\frac{t^2}{2}\right),
y'(t)=-e^{-t}\left(t+\frac{t^2}{2}\right)+e^{-t}\left(1+t\right)=e^{-t}\left(1 - \frac{t^2}{2}\right).
Logo y'(0)=1, OK. A solução satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=e^{-t}\left(t+\frac{t^{2}}{2}\right)

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