Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\delta(t-1)

Passo 1

Enunciado: a função é f(t)=\delta(t-1).
Pergunta: calcular a transformada de Laplace de f(t), ou seja, encontrar \mathcal{L}\{f\}(s).
Informações relevantes fornecidas: o impulso de Dirac está concentrado em t=1 (peguei isso do enunciado: t-1 dentro de \delta). A transformação de Laplace padrão usa integração no intervalo [0,\infty).

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) usa-se
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde t é a variável de integração e s é o parâmetro (geralmente complexo). Essa fórmula é a base: vamos aplicá‑la diretamente a f(t)=\delta(t-1).

Passo 3

Explicando a propriedade fundamental do delta de Dirac (a parte mais importante aqui): para qualquer função suficientemente bem comportada h(t)\) e para qualquer número real \(a\), \[\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,\delta(t-a)\,dt = h(a).
Isto é chamado de propriedade de amostragem ou “sifting property”: a integral com o delta “pega” o valor de h no ponto onde o delta está centrado. Se a integral tem limites que não incluem a, então o resultado é 0. Por exemplo,
\int_{0}^{\infty} h(t)\,\delta(t-a)\,dt = \begin{cases} h(a), & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{se } a<0. \end{cases}
Intuição rápida: \delta\] é nula fora de \(t=a, então só contribui se a estiver no intervalo de integração.]

Passo 4

Aplicando a definição da transformada e a propriedade do delta ao nosso caso:
\mathcal{L}\{\delta(t-1)\}(s)=\int_{0}^{\infty} \delta(t-1)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui a função h(t)=e^{-s t} e o ponto do delta é a=1. Como 1 pertence ao intervalo [0,\infty), a propriedade de amostragem dá
\int_{0}^{\infty} \delta(t-1)\,e^{-s t}\,dt = e^{-s\cdot 1}=e^{-s}.
Portanto a transformada é e^{-s}.

Passo 5

Observações úteis para a prova (mastigadas):
  • A resposta e^{-s} vale para todo s (não há restrição de convergência aqui), pois a integral com \delta produz um valor finito e bem definido.
  • Caso o impulso estivesse em t=a em geral tem‑se \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}(s)=e^{-a s} para a\ge 0; se a<0 a transformada é 0 porque o ponto do impulso fica fora do intervalo [0,\infty).
  • Exemplos rápidos: \mathcal{L}\{\delta(t)\}(s)=1 (pegou e^{-s\cdot 0}=1) e \mathcal{L}\{\delta(t-2)\}(s)=e^{-2s}.

Resposta

e^{-s}

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