Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado: a função é
.
Pergunta: calcular a transformada de Laplace de , ou seja, encontrar
.
Informações relevantes fornecidas: o impulso de Dirac está concentrado em (peguei isso do enunciado:
dentro de
). A transformação de Laplace padrão usa integração no intervalo
.
Pergunta: calcular a transformada de Laplace de
Informações relevantes fornecidas: o impulso de Dirac está concentrado em
Passo 2
Recordando a definição da transformada de Laplace: para uma função
usa-se
onde
é a variável de integração e
é o parâmetro (geralmente complexo). Essa fórmula é a base: vamos aplicá‑la diretamente a
.
Passo 3
Explicando a propriedade fundamental do delta de Dirac (a parte mais importante aqui): para qualquer função suficientemente bem comportada
Isto é chamado de propriedade de amostragem ou “sifting property”: a integral com o delta “pega” o valor de
no ponto onde o delta está centrado. Se a integral tem limites que não incluem
, então o resultado é
. Por exemplo,
Intuição rápida:
, então só contribui se
estiver no intervalo de integração.]
Passo 4
Aplicando a definição da transformada e a propriedade do delta ao nosso caso:
Aqui a função
e o ponto do delta é
. Como
pertence ao intervalo
, a propriedade de amostragem dá
Portanto a transformada é
.
Passo 5
Observações úteis para a prova (mastigadas):
- A resposta
vale para todo (não há restrição de convergência aqui), pois a integral com produz um valor finito e bem definido. - Caso o impulso estivesse em
em geral tem‑se para ; se a transformada é porque o ponto do impulso fica fora do intervalo . - Exemplos rápidos:
(pegou ) e .