- Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente em dois intervalos:
- Para
, . - Para
, .
O conteúdo que vamos utilizar aqui é a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e considerar a função por partes usando a função de Heaviside.
Passo 2
A Transformada de Laplace de uma função
é definida por:
No nosso caso, como a função
é diferente em intervalos distintos, vamos reescrevê-la usando a função de Heaviside
, que é 0 para
e 1 para
. Assim, podemos expressar
como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas pela função de Heaviside. A propriedade é:
Nesse caso,
e
. Então, precisamos calcular
.
Passo 4
Para calcular
, primeiro fazemos uma substituição
, onde
. Assim,
e a integral se torna:
Aqui, usamos a propriedade da função de Heaviside deslocada.
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Sabemos que:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: