1. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
    a) f(x)=lll0, & se & 02

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente em dois intervalos:
  • Para , .
  • Para , .
O conteúdo que vamos utilizar aqui é a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e considerar a função por partes usando a função de Heaviside.

Passo 2

A Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é definida por:
f(x) = x cdot H(x - 2)
No nosso caso, como a função é diferente em intervalos distintos, vamos reescrevê-la usando a função de Heaviside , que é 0 para e 1 para . Assim, podemos expressar como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas pela função de Heaviside. A propriedade é:
Lf(t) cdot H(t - a) = e^-as Lf(t + a)
Nesse caso, e . Então, precisamos calcular .

Passo 4

Para calcular Lx cdot H(x - 2) = integral2^infty e^-sx x , dx = e^-2s integral0^infty e^-su (u + 2) , du , primeiro fazemos uma substituição , onde . Assim, e a integral se torna:
Aqui, usamos a propriedade da função de Heaviside deslocada.

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
e^-2s ( integral0^infty e^-su u , du + 2 integral0^infty e^-su , du )
Sabemos que:
integral0^infty e^-su u , du = 1s^2 e integral0^infty e^-su , du = 1s
Portanto, substituindo na expressão anterior:
e^-2s ( 1s^2 + 2s )

Resposta

A Transformada de Laplace da função Lf(x) = e^-2s ( 1s^2 + 2s ) é:

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