A corrente I(t) em um circuito RLC em série é regida pelo problema de valor inicial:
$$
\left{ \quad onde g(t)=\left{ I^prime prime(t)+2 I^prime(t)+2 I(t) & =g(t) I(0)=10 & I^prime(0)=0 \right.\right.

Passo 1

O enunciado pede pra achar a corrente I(t) que satisfaz a EDO I''+2I'+2I=g(t) com I(0)=10, I'(0)=0 e forçamento em degraus: 20 até 3pi, depois 0 até 4pi, e de novo 20 além de 4pi. Estamos em teoria de resposta de sistemas lineares: vamos usar a combinação da solução homogênea e de uma solução particular em cada intervalo, impondo continuidade de I e I' nos instantes t=3pi e t=4pi.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea I''+2I'+2I=0 é r^2+2r+2=0, com raízes r=-1pm i. Então a solução homogênea geral é
Ih(t)=e^-tl(Acos t+Bsin tr)
Para um forçamento constante g=20, a solução particular constante satisfaz 2C=20, ou seja C=10.

Passo 3

No primeiro intervalo 0<= t<3pi, temos g=20, logo
I1(t)=10+e^-t(Acos t+Bsin t)
Impondo I1(0)=10 A=0 e I1'(0)=0 B=0. Logo
I1(t)=10

Passo 4

No segundo intervalo 3pi<= t<4pi, o forçamento é zero, então
I2(t)=e^-t(Ccos t+Dsin t)
Em t=3pi impomos continuidade:
I2(3pi)=I1(3pi)=10,
I2'(3pi)=I1'(3pi)=0
Calculando essas condições achamos
C=-10e^3pi,
D=-10e^3pi
Então
I2(t)=-10e^3pi-t(cos t+sin t)

Passo 5

No terceiro intervalo t>=4pi, volta a valer g=20. A solução é
I3(t)=10+e^-t(Ecos t+Fsin t)
Em t=4pi exigimos continuação de I e I' com I2. Assim
I3(4pi)=I2(4pi)=-10e^-pi,
I3'(4pi)=I2'(4pi)=0
levam a
E=F=-10e^3pi(1+e^pi)
Logo
I3(t)=10-10e^3pi(1+e^pi),e^-t(cos t+sin t)

Resposta

I(t)= 10,&0<= t<3pi, -10e^3pi-t(cos t+sin t),&3pi<= t<4pi, 10-10e^3pi(1+e^pi),e^-t(cos t+sin t),&t>=4pi

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