Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
e) mathscrL^-1[1s^3(s-1)]

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada inversa mathscrL^-1l[1/(s^3(s-1))r] usando a propriedade de convolução da transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos escrever a função F(s) = 1s^3(s-1) como o produto de duas funções cujas inversas conhecemos: 1s^3 e 1s-1. Definimos
f1(t)=mathscrL^-1l[1/s^3r]=t^22,
f2(t)=mathscrL^-1l[1/(s-1)r]=e^t

Passo 3

Pela propriedade de convolução temos
f(t)=mathscrL^-1l[F(s)r]=integral0^tf1(tau),f2(t-tau),dtau =integral0^ttau^22,e^t-tau,dtau

Passo 4

Fatorando e^t/2 para fora da integral,
f(t)=e^t2integral0^ttau^2e^-tau,dtau
Agora calculamos
integral0^ttau^2e^-tau,dtau =2 - e^-tl(t^2+2t+2r)
por integração por partes.

Passo 5

Substituindo esse resultado em f(t) e simplificando,
f(t)=e^t2l[2 - e^-t(t^2+2t+2)r] = e^t - t^2+2t+22

Resposta

f(t)=e^t - t^2+2t+22.

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