1. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
    d) mathscrLx^2-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função . Isso está dentro do conteúdo de Transformada de Laplace, uma ferramenta importante para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de funções polinomiais básicas e aplicar a linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma operação que transforma uma função do tempo mathscrLf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt para uma função no domínio da frequência mathscrLt^2 - 3t + 2 . A definição é:
No nosso caso, a função é , mas vamos tratar como para seguir a notação típica:

Passo 3

A transformada de Laplace é uma operação linear, ou seja:
mathscrLa f(t) + b g(t) = a mathscrLf(t) + b mathscrLg(t)
Então, podemos separar nossa função em partes:
mathscrLt^2 - 3t + 2 = mathscrLt^2 - 3 mathscrLt + 2 mathscrL1

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas transformadas básicas. As fórmulas são:
  1. mathscrLt^2 = 2!s^3 = 2s^3 , onde mathscrLt = 1!s^2 = 1s^2 é um número inteiro não negativo.
  2. mathscrL1 = 1s
Aplicando essas fórmulas:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, substituímos essas transformadas de volta na expressão original:
mathscrLt^2 - 3t + 2 = 2s^3 - 3 ( 1s^2 ) + 2 ( 1s )

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
mathscrLt^2 - 3t + 2 = 2s^3 - 3s^2 + 2s

Resposta

A transformada de Laplace da função mathscrLx^2 - 3x + 2 = 2s^3 - 3s^2 + 2s é:

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