1. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
    g) mathscrLx^2 cos 5 x

Passo 1

Vamos calcular a transformada de Laplace da função . Estamos trabalhando com o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente aplicando propriedades que envolvem funções polinomiais multiplicadas por funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace de e a propriedade que relaciona a multiplicação por com derivadas na transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de mathscrLcos(ax) = ss^2 + a^2 é dada por:
mathscrLcos(5x) = ss^2 + 25
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de mathscrLx^n f(x) = (-1)^n d^nds^n mathscrLf(x) . Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que diz:
mathscrLx^2 cos 5x = (-1)^2 d^2ds^2 ss^2 + 25 = d^2ds^2 ss^2 + 25
Para o nosso caso, e . Portanto:

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de dds ( ss^2 + 25 ) = (1)(s^2 + 25) - s(2s)(s^2 + 25)^2 = s^2 + 25 - 2s^2(s^2 + 25)^2 = -s^2 + 25(s^2 + 25)^2 em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada da expressão obtida:
d^2ds^2 ( ss^2 + 25 ) = dds ( -s^2 + 25(s^2 + 25)^2 )
Aplicando a regra do quociente:
dds ( uv ) = u'v - uv'v^2
onde u' = -2s v' = 2(s^2 + 25)(2s) = 4s(s^2 + 25) e dds ( -s^2 + 25(s^2 + 25)^2 ) = (-2s)(s^2 + 25)^2 - (-s^2 + 25)(4s)(s^2 + 25)(s^2 + 25)^4 .
Calculando -2s(s^2 + 25)^2 + 4s(s^2 - 25)(s^2 + 25) = (-2s)(s^4 + 50s^2 + 625) + 4s(s^4 - 625)(s^2 + 25)^4 e 2s^5 - 50s^3 + 1250s(s^2 + 25)^3 :
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Após simplificar os termos, obtemos:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de mathscrLx^2 cos 5x = 2s^5 - 50s^3 + 1250s(s^2 + 25)^3 é:

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