- Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
g)
g)
Passo 1
Vamos calcular a transformada de Laplace da função
. Estamos trabalhando com o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente aplicando propriedades que envolvem funções polinomiais multiplicadas por funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace de
e a propriedade que relaciona a multiplicação por
com derivadas na transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de
. Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que diz:
Para o nosso caso,
e
. Portanto:
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada da expressão obtida:
Aplicando a regra do quociente:
onde
e
.
Calculando
e
:
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Após simplificar os termos, obtemos:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de
é: