Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
h) integral0^+infty sen(x)x^p d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos e potenciais problemas de convergência. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral tanto quando se aproxima de 0 quanto quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função sin(x)x^p approx xx^p = x^1 - p perto de 1 - p > -1 implies p < 2 . Sabemos que, para valores pequenos de , pode ser aproximado por (já que quando está próximo de 0). Então, a função se comporta como:
Agora, queremos saber para quais valores de a integral converge. Sabemos que a integral converge se . Portanto, para nossa função:
Então, a integral converge na vizinhança de 0 se .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento quando tende ao infinito, ou seja, . Aqui, enfrentamos uma função oscilante ( ) dividida por uma potência de . Para determinar a convergência dessa integral, podemos usar o Teste de Dirichlet para integrais impróprias, que basicamente nos diz que se temos:
  1. Uma função que é monotonamente decrescente e tende a 0 quando .
  2. Uma função cuja integral indefinida é limitada.
Então, a integral converge.
No nosso caso, é certamente decrescente e tende a 0 se . Já tem como integral , que está sempre entre -1 e 1, ou seja, limitada. Portanto, pela condição do Teste de Dirichlet, a integral converge para .

Passo 4

Resumindo as duas análises:
  • Perto de , a integral converge se .
  • Para , a integral converge se .
Para que a integral inteira seja convergente, ambas as partes devem convergir simultaneamente. Ou seja, precisamos que .

Resposta

A integral é convergente para valores de tais que e divergente caso contrário.

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