Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
h)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se a integral
é convergente ou divergente. Estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos e potenciais problemas de convergência. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral tanto quando
se aproxima de 0 quanto quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
perto de
. Sabemos que, para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por
(já que
quando
está próximo de 0). Então, a função se comporta como:
Agora, queremos saber para quais valores de
a integral
converge. Sabemos que a integral
converge se
. Portanto, para nossa função:
Então, a integral converge na vizinhança de 0 se
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento quando
tende ao infinito, ou seja,
. Aqui, enfrentamos uma função oscilante (
) dividida por uma potência de
. Para determinar a convergência dessa integral, podemos usar o Teste de Dirichlet para integrais impróprias, que basicamente nos diz que se temos:
- Uma função
que é monotonamente decrescente e tende a 0 quando . - Uma função
cuja integral indefinida é limitada.
Então, a integral
converge.
No nosso caso,
é certamente decrescente e tende a 0 se
. Já
tem como integral
, que está sempre entre -1 e 1, ou seja, limitada. Portanto, pela condição do Teste de Dirichlet, a integral
converge para
.
Passo 4
Resumindo as duas análises:
- Perto de
, a integral converge se . - Para
, a integral converge se .
Para que a integral inteira
seja convergente, ambas as partes devem convergir simultaneamente. Ou seja, precisamos que
.
Resposta
A integral
é convergente para valores de
tais que
e divergente caso contrário.