Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas. A equação que vamos resolver é:
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) é Ly = Y(s) . Lembrando que:
Ly'' + Ly = L0
e
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 0
Aplicando na equação:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais s^2 Y(s) - s cdot 3 - 1 + Y(s) = 0 e (s^2 + 1) Y(s) = 3s + 1 :
Simplificando:
Passo 4
Isolando Y(s) = 3s + 1s^2 + 1 para resolver no domínio de Laplace:
Y(s) = 3 cdot ss^2 + 1 + 1s^2 + 1
Podemos separar isso para facilitar a transformação inversa:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa para encontrar L^-1ss^2 + 1 = cos(t) . Sabemos que: