Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
d) cly^prime prime+y & =0 y(0)=3 & y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas. A equação que vamos resolver é:
y'' + y = 0 y(0) = 3 y'(0) = 1

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) é Ly = Y(s) . Lembrando que:
Ly'' + Ly = L0
e
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 0
Aplicando na equação:
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais s^2 Y(s) - s cdot 3 - 1 + Y(s) = 0 e (s^2 + 1) Y(s) = 3s + 1 :
Simplificando:

Passo 4

Isolando Y(s) = 3s + 1s^2 + 1 para resolver no domínio de Laplace:
Y(s) = 3 cdot ss^2 + 1 + 1s^2 + 1
Podemos separar isso para facilitar a transformação inversa:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa para encontrar L^-1ss^2 + 1 = cos(t) . Sabemos que:
L^-11s^2 + 1 = sin(t)
e
y(t) = 3 cos(t) + sin(t)
Então, aplicando na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 3, cos(t) + sin(t)

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