exercícios 8 a 11, calcular a integral de superfície
integral duplaS x^2 d y d z+y^2 d z d x+z^2 d x d y, onde S é a superfície plana x+y=2, delimitada pelos planos coordenados e pelo plano z=4 e a normal se afasta da origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS x^2,dy,dz + y^2,dz,dx + z^2,dx,dy sobre a parte do plano x+y=2 limitada pelos planos coordenados e pelo plano z=4, com normal apontando para fora da origem. O conteúdo é fluxo de um campo vetorial F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2) através da superfície S. Vamos parametrizar S, obter o vetor área orientado e usar integral duplaSFcdot n,dS.

Passo 2

Escolhemos a parametrização usando x e z como parâmetros. Como y=2-x, definimos
r(x,z)=(x,,2-x,,z), 0<= x<=2,;0<= z<=4
Então
rx=(1,-1,0), rz=(0,0,1)
O vetor normal não normalizado é
rztimes rx=(1,1,0),
que de fato aponta para fora da origem.

Passo 3

O vetor diferencial de área orientado é
d S=(1,1,0),dx,dz
Logo o integrando fica
F( x,2-x,z)cdot d S = (x^2,(2-x)^2,z^2)cdot(1,1,0)=x^2+(2-x)^2

Passo 4

Agora basta calcular
I=integralx=0^2integralz=0^4l[x^2+(2-x)^2r];dz,dx
Primeiro integramos em z:
I=integral0^24l[x^2+(2-x)^2r]dx =4integral0^2(2x^2-4x+4)dx =4[2x^33-2x^2+4x]0^2 =4cdot163=643

Resposta

643

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