Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
h(t)=e^{-2 t} \sin (5 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função h(t)=e^{-2 t}\sin(5 t).
Informações relevantes fornecidas:
\;1.; A função é h(t)=e^{-2 t}\sin(5 t).
\;2.; A Transformada de Laplace que queremos é a transformada unilateral padrão, ou seja a integral de 0 a \infty.
\;3.; Não há figura ou tabela no enunciado. Assume-se a definição usual da transformada de Laplace.

Passo 2

Definição da Transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida):
A Transformada de Laplace de uma função h(t) é definida por
\mathcal{L}\{h\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,h(t)\,dt,
onde t é a variável do tempo (real, t\ge0) e s é a variável complexa de Laplace. A integral só converge para valores de s em que o integrando decai suficientemente rápido; a região de convergência será indicada no final.

Passo 3

Substitui-se h(t) na definição:
\mathcal{L}\{e^{-2 t}\sin(5 t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{-2 t}\sin(5 t)\,dt.
Combine os expoentes:
e^{-s t}e^{-2 t}=e^{-(s+2)t}.
Defina para simplificar a=s+2 e \omega=5. Assim a integral fica
I=\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin(\omega t)\,dt,
com a=s+2 (e mais adiante veremos a condição em s que garante a>0 em termos de parte real).

Passo 4

Plano para calcular I: vamos calcular diretamente a integral usando integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u e dv de modo a reduzir a integral a uma que conhecemos.

Passo 5

Primeira integração por partes. Tome
u=\sin(\omega t),\qquad dv=e^{-a t}dt.
Então
du=\omega\cos(\omega t)\,dt,\qquad v=-\frac{1}{a}e^{-a t}.
Aplicando integração por partes:
I=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\sin(\omega t)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{a}e^{-a t}\right)\omega\cos(\omega t)\,dt.
O termo de fronteira vale zero porque e^{-a t}\to0 quando t\to\infty (quando \Re(a)>0) e \sin(0)=0. Portanto
I=\frac{\omega}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(\omega t)\,dt.
Defina
J=\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(\omega t)\,dt,
logo I=\dfrac{\omega}{a}J.

Passo 6

Segunda integração por partes para calcular J. Tome
u=\cos(\omega t),\qquad dv=e^{-a t}dt.
Então
du=-\omega\sin(\omega t)\,dt,\qquad v=-\frac{1}{a}e^{-a t}.
Aplicando integração por partes:
J=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\cos(\omega t)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{a}e^{-a t}\right)(-\,\omega\sin(\omega t))\,dt.
O termo de fronteira é
\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\cos(\omega t)\right]_{0}^{\infty}=0-\left(-\frac{1}{a}\cdot1\cdot\cos0\right)=\frac{1}{a}.
E a integral restante é \dfrac{\omega}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin(\omega t)\,dt=\dfrac{\omega}{a}I. Então obtemos
J=\frac{1}{a}-\frac{\omega}{a}I.

Passo 7

Substitua J em I=\dfrac{\omega}{a}J:
I=\frac{\omega}{a}\!\left(\frac{1}{a}-\frac{\omega}{a}I\right)=\frac{\omega}{a^{2}}-\frac{\omega^{2}}{a^{2}}I.
Rearranje para isolar I:
I+\frac{\omega^{2}}{a^{2}}I=\frac{\omega}{a^{2}} \quad\Rightarrow\quad I\left(1+\frac{\omega^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{\omega}{a^{2}}.
Colocando sobre um denominador comum:
I\cdot\frac{a^{2}+\omega^{2}}{a^{2}}=\frac{\omega}{a^{2}} \quad\Rightarrow\quad I=\frac{\omega}{a^{2}+\omega^{2}}.

Passo 8

Volte às variáveis originais: a=s+2 e \omega=5. Assim
\mathcal{L}\{e^{-2 t}\sin(5 t)\}(s)=I=\frac{5}{(s+2)^{2}+5^{2}}=\frac{5}{(s+2)^{2}+25}.
Condição de convergência: exigimos \Re(a)>0, ou seja \Re(s+2)>0. Portanto a região de convergência é \Re(s)>-2. (Para s real: s>-2.)

Passo 9

Observação alternativa (método rápido que usa propriedade): conhecendo que
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\quad(\Re(s)>0),
pela propriedade do deslocamento exponencial
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a),
com a=-2 e f(t)=\sin(5t), substitui-se s\mapsto s+2 em F(s) e obtemos o mesmo resultado:
\frac{5}{(s+2)^{2}+25}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-2 t}\sin(5 t)\}(s)=\frac{5}{(s+2)^{2}+25}
\Re(s)>-2

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