Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função
.
Informações relevantes fornecidas:
; A função é
.
; A Transformada de Laplace que queremos é a transformada unilateral padrão, ou seja a integral de
a
.
; Não há figura ou tabela no enunciado. Assume-se a definição usual da transformada de Laplace.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Definição da Transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida):
A Transformada de Laplace de uma função é definida por
A Transformada de Laplace de uma função
onde
é a variável do tempo (real,
) e
é a variável complexa de Laplace. A integral só converge para valores de
em que o integrando decai suficientemente rápido; a região de convergência será indicada no final.
Passo 3
Substitui-se
na definição:
Combine os expoentes:
Defina para simplificar
e
. Assim a integral fica
com
(e mais adiante veremos a condição em
que garante
em termos de parte real).
Passo 4
Plano para calcular
: vamos calcular diretamente a integral usando integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
Escolhemos
e
de modo a reduzir a integral a uma que conhecemos.
Passo 5
Primeira integração por partes. Tome
Então
Aplicando integração por partes:
O termo de fronteira vale zero porque
quando
(quando
) e
. Portanto
Defina
logo
.
Passo 6
Segunda integração por partes para calcular
. Tome
Então
Aplicando integração por partes:
O termo de fronteira é
E a integral restante é
. Então obtemos
Passo 7
Substitua
em
:
Rearranje para isolar
:
Colocando sobre um denominador comum:
Passo 8
Volte às variáveis originais:
e
. Assim
Condição de convergência: exigimos
, ou seja
. Portanto a região de convergência é
. (Para
real:
.)
Passo 9
Observação alternativa (método rápido que usa propriedade): conhecendo que
pela propriedade do deslocamento exponencial
com
e
, substitui-se
em
e obtemos o mesmo resultado: