Utilizando propriedades como derivação, translação e convolução, determine:
Passo 1
O problema pede que calculemos a transformada de Laplace de
. Informações dadas e o que isto significa:
-
é a função degrau unitário deslocada, então a função vale para e vale para . - Precisamos encontrar
, isto é, a função de resultante da transformada de Laplace.
Passo 2
Usamos a propriedade de deslocamento no tempo (shifting): se
tem transformada
e
, então
Aqui podemos identificar
e
( note que trocamos a variável interna para ficar
, mas continuamos chamando de
): a transformada que precisamos é
multiplicada pela transformada de
.
Passo 3
Agora calculamos
. Podemos usar duas formas equivalentes; mostro as duas porque ambas aparecem em provas.
Método direto (fórmula conhecida):
Para
e
temos
Método pela propriedade de derivação (checa a conta):
- Primeiro
para . - A propriedade diz
. Aplicando com ,
Ambos dão
.
Passo 4
Aplicando a propriedade de deslocamento do Passo 2 com
e
, obtemos
Passo 5
Como verificação rápida por integração (válida para entender a mudança de variável): escrever a integral da definição
usa-se que
anula a integral em
, faz a mudança
e obtém-se
válido para
. Isso confirma o resultado do passo anterior.