Utilizando propriedades como derivação, translação e convolução, determine:
\mathcal{L}\left\{u(t-3)(t-3) e^{2(t-3)}\right\}

Passo 1

O problema pede que calculemos a transformada de Laplace de \;u(t-3)(t-3)e^{2(t-3)}\;. Informações dadas e o que isto significa:
  • u(t-3) é a função degrau unitário deslocada, então a função vale 0 para t<3 e vale (t-3)e^{2(t-3)} para t\ge 3.
  • Precisamos encontrar \mathcal{L}\{\;u(t-3)(t-3)e^{2(t-3)}\;\}, isto é, a função de s resultante da transformada de Laplace.

Passo 2

Usamos a propriedade de deslocamento no tempo (shifting): se f(t) tem transformada F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e a>0, então
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-a s}F(s).
Aqui podemos identificar a=3 e f(t)=t e^{2t} ( note que trocamos a variável interna para ficar \tau, mas continuamos chamando de f ): a transformada que precisamos é e^{-3s} multiplicada pela transformada de f(t)=t e^{2t}.

Passo 3

Agora calculamos \mathcal{L}\{t e^{2t}\}. Podemos usar duas formas equivalentes; mostro as duas porque ambas aparecem em provas.
Método direto (fórmula conhecida):
\mathcal{L}\{t^n e^{a t}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Para n=1 e a=2 temos
\mathcal{L}\{t e^{2t}\}=\frac{1!}{(s-2)^{2}}=\frac{1}{(s-2)^{2}}.
Método pela propriedade de derivação (checa a conta):
  • Primeiro \mathcal{L}\{e^{2t}\}=\dfrac{1}{s-2} para \operatorname{Re}(s)>2.
  • A propriedade diz \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}. Aplicando com f(t)=e^{2t},
\mathcal{L}\{t e^{2t}\}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-2}\right)=-\left(-\frac{1}{(s-2)^{2}}\right)=\frac{1}{(s-2)^{2}}.
Ambos dão \dfrac{1}{(s-2)^{2}}.

Passo 4

Aplicando a propriedade de deslocamento do Passo 2 com a=3 e F(s)=\dfrac{1}{(s-2)^{2}}, obtemos
\mathcal{L}\{u(t-3)(t-3)e^{2(t-3)}\}=e^{-3s}\cdot\frac{1}{(s-2)^{2}}.

Passo 5

Como verificação rápida por integração (válida para entender a mudança de variável): escrever a integral da definição
\mathcal{L}\{u(t-3)(t-3)e^{2(t-3)}\}=\int_{0}^{\infty}u(t-3)(t-3)e^{2(t-3)}e^{-st}\,dt
usa-se que u(t-3) anula a integral em [0,3), faz a mudança \tau=t-3 e obtém-se
e^{-3s}\int_{0}^{\infty}\tau e^{-(s-2)\tau}\,d\tau=e^{-3s}\cdot\frac{1}{(s-2)^{2}},
válido para \operatorname{Re}(s)>2. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Resposta

\frac{e^{-3s}}{(s-2)^{2}}

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