Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t e^{3 t}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função \,f(t)=t e^{3 t}\, (assumindo o domínio usual t\ge 0).\n
Dados fornecidos: a função temporal é \,f(t)=t e^{3 t}\,. Não há outras informações explícitas, então usamos a definição padrão da transformada de Laplace para t\ge 0.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis.\n
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde t é a variável de tempo (real, t\ge 0) e s é um parâmetro complexo. Para que a integral exista (converja), a parte real de s normalmente precisa ser grande o suficiente; vamos determinar essa condição ao longo da solução.

Passo 3

Aplicar a definição ao caso \,f(t)=t e^{3 t}\,.\n
Substituindo f(t) na definição obtemos
\mathcal{L}\{t e^{3 t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{3 t} e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty} t e^{-(s-3)t}\,dt.
Para simplificar, defina a=s-3. Assim a integral fica
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt.
A integral impropria converge se a parte real de a for positiva, isto é se \operatorname{Re}(s-3)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>3. Vamos assumir essa condição a seguir.

Passo 4

Método escolhido e por que: integração por partes (método básico e direto).\n
Há várias formas de resolver essa integral (por exemplo usando propriedades da transformada), mas a maneira mais elementar é avaliar diretamente
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt
por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui escolhemos u=t (para reduzir o polinômio) e dv=e^{-a t}\,dt (para integrar o exponencial).

Passo 5

Aplicar integração por partes passo a passo.\n
Com u=t temos du=dt. Com dv=e^{-a t}\,dt temos v=\displaystyle -\frac{1}{a}e^{-a t} (válido para a\neq 0). Agora aplique a fórmula:
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt = \left[ t\left(-\frac{1}{a}e^{-a t}\right)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{a}e^{-a t}\right)\,dt.
Avalie o termo de contorno \left[ -\frac{t}{a} e^{-a t}\right]_{0}^{\infty}. Para \operatorname{Re}(a)>0 temos
\lim_{T\to\infty} \frac{t}{a} e^{-a t}=0,
porque a exponencial decai mais rápido que o crescimento linear de t. No limite inferior, em t=0, o termo vale 0. Portanto o termo de contorno é 0-0=0.

Passo 6

Continuar o cálculo da integral restante e obter o resultado.\n
Com o termo de contorno zero, sobra
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt = \frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt.
A integral do exponencial é elementar:
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt = \left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a},
novamente para \operatorname{Re}(a)>0. Logo
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a^{2}}.

Passo 7

Substituir a=s-3 e escrever a transformada final com a região de convergência.\n
Voltando à notação original, com a=s-3,
\mathcal{L}\{t e^{3 t}\}(s)=\frac{1}{(s-3)^{2}},
válido para \operatorname{Re}(s)>3.

Passo 8

Checagem alternativa rápida (opcional, útil na prova).\n
Como checagem, uma propriedade prática é \mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\dfrac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\big). Aplicando com f(t)=e^{3t} e lembrando que \mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\dfrac{1}{s-3} (para \operatorname{Re}(s)>3), obtemos
\mathcal{L}\{t e^{3t}\}(s) = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-3}\right)=\frac{1}{(s-3)^2},
mesmo resultado, o que confirma a resposta.

Resposta

\mathcal{L}\{t e^{3 t}\}(s)=\dfrac{1}{(s-3)^{2}},\\ \operatorname{Re}(s)>3

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