Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função
(assumindo o domínio usual
).\n
Dados fornecidos: a função temporal é . Não há outras informações explícitas, então usamos a definição padrão da transformada de Laplace para
.
Dados fornecidos: a função temporal é
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis.\n
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é a variável de tempo (real,
) e
é um parâmetro complexo. Para que a integral exista (converja), a parte real de
normalmente precisa ser grande o suficiente; vamos determinar essa condição ao longo da solução.
Passo 3
Aplicar a definição ao caso
.\n
Substituindo na definição obtemos
Substituindo
Para simplificar, defina
. Assim a integral fica
A integral impropria converge se a parte real de
for positiva, isto é se
, ou seja
. Vamos assumir essa condição a seguir.
Passo 4
Método escolhido e por que: integração por partes (método básico e direto).\n
Há várias formas de resolver essa integral (por exemplo usando propriedades da transformada), mas a maneira mais elementar é avaliar diretamente
Há várias formas de resolver essa integral (por exemplo usando propriedades da transformada), mas a maneira mais elementar é avaliar diretamente
por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Aqui escolhemos
(para reduzir o polinômio) e
(para integrar o exponencial).
Passo 5
Aplicar integração por partes passo a passo.\n
Com temos
. Com
temos
(válido para
). Agora aplique a fórmula:
Com
Avalie o termo de contorno
. Para
temos
porque a exponencial decai mais rápido que o crescimento linear de
. No limite inferior, em
, o termo vale
. Portanto o termo de contorno é
.
Passo 6
Continuar o cálculo da integral restante e obter o resultado.\n
Com o termo de contorno zero, sobra
Com o termo de contorno zero, sobra
A integral do exponencial é elementar:
novamente para
. Logo
Passo 7
Substituir
e escrever a transformada final com a região de convergência.\n
Voltando à notação original, com ,
Voltando à notação original, com
válido para
.
Passo 8
Checagem alternativa rápida (opcional, útil na prova).\n
Como checagem, uma propriedade prática é . Aplicando com
e lembrando que
(para
), obtemos
Como checagem, uma propriedade prática é
mesmo resultado, o que confirma a resposta.