1. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
    b) f(x)=rllsen x, & se & 0pi

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício: precisamos calcular a transformada de Laplace da função
f(x) = sin x, & se 0 < x < pi 0, & se x > pi
Vamos usar conceitos da transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada e como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, a função Lf(x) = integral0^pi e^-sx sin x , dx é igual a entre 0 e e zero depois disso. Isso significa que podemos escrever a transformada de Laplace como

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Para integrar integral e^ax sin bx , dx = e^ax (a sin bx - b cos bx)a^2 + b^2 + C , podemos usar a fórmula de integração por partes ou lembrar da integral padrão:
integral e^-sx sin x , dx = e^-sx (-s sin x - cos x)s^2 + 1 + C
No nosso caso, e . Aplicando a fórmula, temos:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a Lf(x) = [ e^-sx (-s sin x - cos x)s^2 + 1 ]0^pi :
e^-spi (-s sin pi - cos pi)s^2 + 1 = e^-spi (0 - (-1))s^2 + 1 = e^-spis^2 + 1
Calculando em e^0 (-s sin 0 - cos 0)s^2 + 1 = 1 (0 - 1)s^2 + 1 = -1s^2 + 1 :
E em :

Passo 5

Subtraindo os valores, temos:
Lf(x) = e^-spis^2 + 1 - (-1s^2 + 1) = 1 + e^-spis^2 + 1

Resposta

A transformada de Laplace da função Lf(x) = 1 + e^-spis^2 + 1 é

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