Sejam
. Verifique que
f)
f)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos verificar que a integral de
, de
até
, é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções exponenciais e hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o cosseno hiperbólico,
. Ele é definido por:
Essa definição vai nos ajudar a simplificar a integral que temos.
Passo 3
Agora, vamos substituir a definição de
na integral:
Passo 4
Vamos fatorar o
para deixar a expressão mais simples:
Passo 5
Distribuindo o
dentro dos parênteses:
Passo 6
Simplificando as exponenciais multiplicadas:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
Passo 8
Aplicando essa fórmula aos nossos integrais:
Passo 9
Vamos somar as frações:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que: