Sejam alpha, s, k in Re, s>0. Verifique que
f) integral0^+infty e^-s x cosh (k x) d x=ss^2-k^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos verificar que a integral de e^-s x cosh(k x), de 0 até +infty, é igual a ss^2 - k^2. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções exponenciais e hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o cosseno hiperbólico, cosh(kx). Ele é definido por:
cosh(kx) = e^kx + e^-kx2
Essa definição vai nos ajudar a simplificar a integral que temos.

Passo 3

Agora, vamos substituir a definição de cosh(kx) na integral:
integral0^+infty e^-s x cosh(k x) dx = integral0^+infty e^-s x cdot e^kx + e^-kx2 dx

Passo 4

Vamos fatorar o 12 para deixar a expressão mais simples:
= 12 integral0^+infty e^-s x (e^kx + e^-kx) dx

Passo 5

Distribuindo o e^-s x dentro dos parênteses:
= 12 ( integral0^+infty e^-s x e^kx dx + integral0^+infty e^-s x e^-kx dx )

Passo 6

Simplificando as exponenciais multiplicadas:
= 12 ( integral0^+infty e^-(s - k)x dx + integral0^+infty e^-(s + k)x dx )

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral0^+infty e^-ax dx = 1a para a > 0

Passo 8

Aplicando essa fórmula aos nossos integrais:
= 12 ( 1s - k + 1s + k )

Passo 9

Vamos somar as frações:
= 12 ( (s + k) + (s - k)(s - k)(s + k) ) = 12 ( 2ss^2 - k^2 )

Passo 10

Simplificando a expressão:
= ss^2 - k^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral0^+infty e^-s x cosh(k x) dx = ss^2 - k^2

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