Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
e) integral0^infty e^-alpha x sen beta xx d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede para calcular a integral:
integral0^infty e^-alpha x cdot sin beta xx , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Vamos usar a técnica de derivação sob o sinal da integral para resolver isso. Essa técnica é útil quando a integral depende de um parâmetro (neste caso, alpha ou beta) e nos permite diferenciar em relação a esse parâmetro para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a integral que queremos calcular, mas de forma mais geral:
I(beta) = integral0^infty e^-alpha x cdot sin beta xx , dx
Nosso objetivo é encontrar I(beta). Para facilitar, vamos derivar I(beta) em relação a beta.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de I(beta) em relação a beta:
I'(beta) = ddbeta integral0^infty e^-alpha x cdot sin beta xx , dx
Pela técnica de derivação sob o sinal da integral, podemos trocar a ordem da derivada e da integral:
I'(beta) = integral0^infty e^-alpha x cdot ddbeta(sin beta x)x , dx
Sabemos que a derivada de sin beta x em relação a beta é x cos beta x, então:
I'(beta) = integral0^infty e^-alpha x cdot x cos beta xx , dx = integral0^infty e^-alpha x cos beta x , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral resultante:
I'(beta) = integral0^infty e^-alpha x cos beta x , dx
Essa é uma integral padrão que podemos resolver usando fórmulas conhecidas de integrais de funções exponenciais e trigonométricas:
integral0^infty e^-alpha x cos beta x , dx = alphaalpha^2 + beta^2
Então,
I'(beta) = alphaalpha^2 + beta^2

Passo 5

Agora que temos a derivada I'(beta), podemos encontrar I(beta) integrando I'(beta) em relação a beta:
I(beta) = integral I'(beta) , dbeta = integral alphaalpha^2 + beta^2 , dbeta
Essa integral é uma forma padrão que resulta em arctangente:
I(beta) = alpha cdot 1alpha arctan(betaalpha) + C = arctan(betaalpha) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar a constante C, vamos considerar o comportamento da função I(beta) quando beta tende a zero. Sabemos que:
limbeta to 0 I(beta) = integral0^infty e^-alpha x cdot sin 0x , dx = 0
E,
limbeta to 0 arctan(betaalpha) = arctan(0) = 0
Portanto, C = 0.

Resposta

Finalmente, a integral original é:
integral0^infty e^-alpha x cdot sin beta xx , dx = arctan(betaalpha)

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