Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
e)
e)
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede para calcular a integral:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Vamos usar a técnica de derivação sob o sinal da integral para resolver isso. Essa técnica é útil quando a integral depende de um parâmetro (neste caso,
ou
) e nos permite diferenciar em relação a esse parâmetro para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a integral que queremos calcular, mas de forma mais geral:
Nosso objetivo é encontrar
. Para facilitar, vamos derivar
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Pela técnica de derivação sob o sinal da integral, podemos trocar a ordem da derivada e da integral:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral resultante:
Essa é uma integral padrão que podemos resolver usando fórmulas conhecidas de integrais de funções exponenciais e trigonométricas:
Então,
Passo 5
Agora que temos a derivada
, podemos encontrar
integrando
em relação a
:
Essa integral é uma forma padrão que resulta em arctangente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar a constante
, vamos considerar o comportamento da função
quando
tende a zero. Sabemos que:
E,
Portanto,
.
Resposta
Finalmente, a integral original é: