Considere as equações diferenciais dos modelos de descrição externa: d^4 yd t^4+16 d^2 yd t^2+64 y=8 d^2 xd t^2-4 d xd t-3 x;
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem que descreve um sistema externo:
d^4 yd t^4 + 16 d^2 yd t^2 + 64 y = 8 d^2 xd t^2 - 4 d xd t - 3 x
O objetivo aqui é encontrar o mapa de polos e zeros desse sistema e comentar sobre a sua estabilidade assintótica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformadas de Laplace, funções de transferência, e análise de polos e zeros para determinar a estabilidade do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma função de transferência usando a transformada de Laplace. Assumindo condições iniciais nulas (o que simplifica as coisas), a transformada da equação fica:
s^4 Y(s) + 16 s^2 Y(s) + 64 Y(s) = 8 s^2 X(s) - 4 s X(s) - 3 X(s)

Passo 3

Agora, vamos isolar Y(s) ( s^4 + 16 s^2 + 64 ) = X(s) ( 8 s^2 - 4 s - 3 ) em termos de H(s) = 8 s^2 - 4 s - 3s^4 + 16 s^2 + 64 :
Então, a função de transferência é:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador para encontrar os polos do sistema. O denominador é:
s^4 + 16 s^2 + 64
Podemos reescrever isso como:
(s^2)^2 + 16 s^2 + 64 = 0
Resolvendo essa equação quadrática em s^2 = -16 pm raiz256 - 2562 = -16 pm 02 = -8 :
s = pm j2raiz2, s = pm j2raiz2
Então, , o que nos dá . Como o polinômio é de quarta ordem, temos dois pares de polos complexos iguais:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os zeros do sistema, que são as raízes do numerador:
8 s^2 - 4 s - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
s = 4 pm raiz16 + 9616 = 4 pm raiz11216 = 4 pm 4raiz716 = 1 pm raiz74
Então, os zeros são:
s = 1 + raiz74, s = 1 - raiz74

Passo 6

Com os polos e zeros identificados, podemos traçar o mapa de polos e zeros no plano complexo. Os polos estão localizados nos pontos (duas vezes cada, por serem repetidos), e os zeros estão nos pontos e no eixo real.

Passo 7

Para comentar sobre a estabilidade assintótica, observamos as posições dos polos no plano complexo. A estabilidade de um sistema linear invariante no tempo está relacionada à localização dos polos:
  • Se todos os polos têm parte real negativa, o sistema é estável assintoticamente.
  • Se algum polo tem parte real positiva, o sistema é instável.
  • Se polos estiverem na parte imaginária pura (parte real zero), o sistema é marginalmente estável.
No nosso caso, os polos estão em , ou seja, na parte imaginária pura. Isso significa que o sistema não é estável assintoticamente; ele é marginalmente estável, pois oscila sem decair ou crescer com o tempo.

Resposta

O mapa de polos do sistema está localizado nos pontos (cada um com multiplicidade dois) e os zeros estão em no eixo real. Como todos os polos estão na parte imaginária pura, o sistema é marginalmente estável e não estável assintoticamente.

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