Considere as equações diferenciais dos modelos de descrição externa:
;
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem que descreve um sistema externo:
O objetivo aqui é encontrar o mapa de polos e zeros desse sistema e comentar sobre a sua estabilidade assintótica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformadas de Laplace, funções de transferência, e análise de polos e zeros para determinar a estabilidade do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma função de transferência usando a transformada de Laplace. Assumindo condições iniciais nulas (o que simplifica as coisas), a transformada da equação fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
em termos de
:
Então, a função de transferência
é:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador para encontrar os polos do sistema. O denominador é:
Podemos reescrever isso como:
Resolvendo essa equação quadrática em
:
Então,
, o que nos dá
. Como o polinômio é de quarta ordem, temos dois pares de polos complexos iguais:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os zeros do sistema, que são as raízes do numerador:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os zeros são:
Passo 6
Com os polos e zeros identificados, podemos traçar o mapa de polos e zeros no plano complexo. Os polos estão localizados nos pontos
(duas vezes cada, por serem repetidos), e os zeros estão nos pontos
e
no eixo real.
Passo 7
Para comentar sobre a estabilidade assintótica, observamos as posições dos polos no plano complexo. A estabilidade de um sistema linear invariante no tempo está relacionada à localização dos polos:
- Se todos os polos têm parte real negativa, o sistema é estável assintoticamente.
- Se algum polo tem parte real positiva, o sistema é instável.
- Se polos estiverem na parte imaginária pura (parte real zero), o sistema é marginalmente estável.
No nosso caso, os polos estão em
, ou seja, na parte imaginária pura. Isso significa que o sistema não é estável assintoticamente; ele é marginalmente estável, pois oscila sem decair ou crescer com o tempo.
Resposta
O mapa de polos do sistema está localizado nos pontos
(cada um com multiplicidade dois) e os zeros estão em
no eixo real. Como todos os polos estão na parte imaginária pura, o sistema é marginalmente estável e não estável assintoticamente.