Considere as equações diferenciais dos modelos de descrição externa:
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona a saída
com a entrada
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares e análise de sistemas usando funções de transferência. Para resolver, a gente vai precisar aplicar a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência, identificar seus polos e zeros, e então analisar a estabilidade do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial dada. Lembre-se que, ao aplicar a Transformada de Laplace, derivadas no tempo se transformam em multiplicações por
no domínio de Laplace. Assumindo que as condições iniciais são zero (ou seja,
e
), a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
em função de
para encontrar a função de transferência
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora que temos a função de transferência
, vamos identificar os zeros e os polos dela.
- Zeros são os valores de
que fazem o numerador ser zero. - Polos são os valores de
que fazem o denominador ser zero.
Passo 5
Primeiro, encontramos os zeros resolvendo
:
Então, há um zero em
.
Passo 6
Agora, encontramos os polos resolvendo
:
Portanto, há dois polos em
e
.
Passo 7
Com os polos e zeros identificados, podemos plotar o mapa de polos e zeros no plano complexo. O zero está no ponto real positivo
, e os polos estão no eixo imaginário puro, nos pontos
.
Passo 8
Para comentar sobre a estabilidade assintótica, analisamos a localização dos polos:
- Se todos os polos estão no semiplano esquerdo (parte real negativa), o sistema é assintoticamente estável.
- Se algum polo estiver no semiplano direito (parte real positiva) ou no eixo imaginário, o sistema não é assintoticamente estável.
No nosso caso, os polos estão no eixo imaginário puro (
), o que significa que o sistema não é assintoticamente estável; ele é marginalmente estável e pode apresentar oscilações constantes ao longo do tempo.
Resposta
A função de transferência do sistema é
. O mapa de polos e zeros apresenta um zero em
e dois polos em
. Como os polos estão no eixo imaginário puro, o sistema não é assintoticamente estável e é considerado marginalmente estável, podendo apresentar oscilações contínuas sem decaimento.