Considere as equações diferenciais dos modelos de descrição externa: 2 d^2 yd t^2+17 y=5 d xd t-8 x
Obtenha o mapa de polos e zeros de cada sistema. Comente sobre a sua estabilidade assintótica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona a saída com a entrada . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares e análise de sistemas usando funções de transferência. Para resolver, a gente vai precisar aplicar a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência, identificar seus polos e zeros, e então analisar a estabilidade do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial dada. Lembre-se que, ao aplicar a Transformada de Laplace, derivadas no tempo se transformam em multiplicações por 2s^2 Y(s) + 17 Y(s) = 5s X(s) - 8 X(s) no domínio de Laplace. Assumindo que as condições iniciais são zero (ou seja, e ), a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar Y(s)(2s^2 + 17) = X(s)(5s - 8) em função de H(s) = Y(s)X(s) = 5s - 82s^2 + 17 para encontrar a função de transferência :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora que temos a função de transferência , vamos identificar os zeros e os polos dela.
  • Zeros são os valores de que fazem o numerador ser zero.
  • Polos são os valores de que fazem o denominador ser zero.

Passo 5

Primeiro, encontramos os zeros resolvendo 5s - 8 = 0 Rightarrow s = 85 :
Então, há um zero em .

Passo 6

Agora, encontramos os polos resolvendo 2s^2 + 17 = 0 Rightarrow s^2 = -172 Rightarrow s = pm jraiz172 :
Portanto, há dois polos em e .

Passo 7

Com os polos e zeros identificados, podemos plotar o mapa de polos e zeros no plano complexo. O zero está no ponto real positivo , e os polos estão no eixo imaginário puro, nos pontos .

Passo 8

Para comentar sobre a estabilidade assintótica, analisamos a localização dos polos:
  • Se todos os polos estão no semiplano esquerdo (parte real negativa), o sistema é assintoticamente estável.
  • Se algum polo estiver no semiplano direito (parte real positiva) ou no eixo imaginário, o sistema não é assintoticamente estável.
No nosso caso, os polos estão no eixo imaginário puro ( ), o que significa que o sistema não é assintoticamente estável; ele é marginalmente estável e pode apresentar oscilações constantes ao longo do tempo.

Resposta

A função de transferência do sistema é . O mapa de polos e zeros apresenta um zero em e dois polos em . Como os polos estão no eixo imaginário puro, o sistema não é assintoticamente estável e é considerado marginalmente estável, podendo apresentar oscilações contínuas sem decaimento.

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