Calcule a Transformada Z de
usando a função zplane e freqz para plotar seus polos/zeros e a resposta em frequência. Discuta a estabilidade do sistema.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada
de
, traçar o diagrama polos/zeros com a função é estável. O conteúdo é transformada
, representação polos/zeros e estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.
zplane
e a resposta em frequência com freqz
, e por fim discutir se o sistema descrito por esse
Passo 2
Para calcular a transformada
usamos a definição para uma sequência causal
:
Como isso é uma série geométrica, desde que
, obtém-se
ou, em outro formato equivalente,
com região de convergência
.
Passo 3
Para extrair polos e zeros a partir de
vemos que:
– o numerador anula em
, logo há um zero em
;
– o denominador anula em , logo há um polo simples em
;
– a ROC inclui o círculo unitário.
– o numerador
– o denominador anula em
– a ROC
Passo 4
No MATLAB/GNU Octave basta definir os coeficientes do numerador e denominador e chamar as funções:
b = [1 0]; % corresponde a z/1 → zero em z=0
a = [1 -0.8]; % corresponde a 1/(1 - 0.8 z^{-1})
zplane(b,a)
title('Diagrama de Polos e Zeros')
grid on
freqz(b,a,512, 'whole')
title('Resposta em Frequência H(e^{j\omega})')
O (dentro do círculo unitário) e o zero em
. O .
zplane
vai mostrar o polo em
freqz
exibe módulo e fase sobre
Passo 5
Um sistema é estável no sentido BIBO se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário ou, equivalentemente, se a sequência for absolutamente somável:
Como o polo
satisfaz
e a ROC inclui o círculo unitário, concluímos que o sistema é estável.
Resposta
A transformada
é
com região de convergência
. O diagrama polos/zeros tem um zero em
e um polo em
. A resposta em frequência obtida por
freqz
mostra como o sistema filtra as diferentes frequências. Como o polo está dentro do círculo unitário, o sistema é estável.