Calcule a Transformada Z de x[n]=0.8^n u[n] usando a função zplane e freqz para plotar seus polos/zeros e a resposta em frequência. Discuta a estabilidade do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada Z de x[n]=0,8^n,u[n], traçar o diagrama polos/zeros com a função zplane e a resposta em frequência com freqz, e por fim discutir se o sistema descrito por esse x[n] é estável. O conteúdo é transformada Z, representação polos/zeros e estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.

Passo 2

Para calcular a transformada Z usamos a definição para uma sequência causal x[n]:
X(z)=sumn=0^inftyx[n],z^-n =sumn=0^infty(0,8)^n,z^-n =sumn=0^inftyl(0,8,z^-1r)^n
Como isso é uma série geométrica, desde que lvert0,8,z^-1rvert<1, obtém-se
X(z) =11-0,8,z^-1,
ou, em outro formato equivalente,
X(z)=z,z-0,8,,
com região de convergência lvert zrvert>0,8.

Passo 3

Para extrair polos e zeros a partir de
X(z)=zz-0,8
vemos que:
– o numerador z anula em z=0, logo há um zero em z=0;
– o denominador anula em z=0,8, logo há um polo simples em z=0,8;
– a ROC lvert zrvert>0,8 inclui o círculo unitário.

Passo 4

No MATLAB/GNU Octave basta definir os coeficientes do numerador e denominador e chamar as funções:
b = [1 0];      % corresponde a z/1 → zero em z=0
a = [1 -0.8];   % corresponde a 1/(1 - 0.8 z^{-1})
zplane(b,a)
title('Diagrama de Polos e Zeros')
grid on

freqz(b,a,512, 'whole')
title('Resposta em Frequência H(e^{j\omega})')
O zplane vai mostrar o polo em 0,8 (dentro do círculo unitário) e o zero em 0. O freqz exibe módulo e fase sobre omegain[0,2pi].

Passo 5

Um sistema é estável no sentido BIBO se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário ou, equivalentemente, se a sequência for absolutamente somável:
sumn=0^inftylvert0,8^nrvert =11-0,8=5<infty
Como o polo 0,8 satisfaz lvert0,8rvert<1 e a ROC inclui o círculo unitário, concluímos que o sistema é estável.

Resposta

A transformada Z é
X(z)=11-0,8,z^-1 (ou) X(z)=zz-0,8,
com região de convergência lvert zrvert>0,8. O diagrama polos/zeros tem um zero em z=0 e um polo em z=0,8. A resposta em frequência obtida por freqz mostra como o sistema filtra as diferentes frequências. Como o polo está dentro do círculo unitário, o sistema é estável.

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