Calcule as transformadas das funções descontínuas abaixo.
(b) f(t)=\mu_{\pi}(t) sen t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t) = \mu_{\pi}(t)\,\sin t,
onde \mu_{\pi}(t) é a função de Heaviside deslocada, isto é, \mu_{\pi}(t)=0 para t<\pi e \mu_{\pi}(t)=1 para t\ge\pi. Vamos usar o Teorema do Deslocamento no Tempo (segunda propriedade de deslocamento).

Passo 2

Por definição de transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,\mu_{\pi}(t)\,\sin t\,dt =\int_{\pi}^{\infty}e^{-st}\sin t\,dt.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável \tau = t - \pi, gerando
\int_{\pi}^{\infty}e^{-st}\sin t\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-s(\tau+\pi)}\sin(\tau+\pi)\,d\tau =e^{-\pi s}\int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}\sin(\tau+\pi)\,d\tau.

Passo 4

Usamos a identidade
\sin(\tau+\pi) = -\sin\tau,
então
\int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}\sin(\tau+\pi)\,d\tau =-\int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}\sin\tau\,d\tau =-\frac{1}{s^{2}+1},
pois \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}\sin\tau\,d\tau = \frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
\mathcal{L}\{\mu_{\pi}(t)\,\sin t\} =-e^{-\pi s}\,\frac{1}{s^{2}+1}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{\mu_{\pi}(t)\,\sin t\} = -\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}.}

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