Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Encontre o intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{-x} \ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação de parâmetros, a equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^{-x}\ln x
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois usamos as fórmulas que envolvem o Wronskiano e integrais de funções envolvendo e^{-x}\ln x. Como aparece \ln x, o domínio natural é x>0.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)^2 = 0
logo temos raiz dupla r=1. Isso gera as soluções fundamentais
y_1(x) = e^x, \qquad y_2(x) = x\,e^x
e a solução geral homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2\,x e^x.

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & x e^x \\[3pt] e^x & (1+x)e^x \end{vmatrix} = e^{2x}\,.
Como f(x)=e^{-x}\ln x, as fórmulas são
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,f(x)}{W(x)}, \qquad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,f(x)}{W(x)},
u_1(x) = -\int \frac{x e^x\cdot e^{-x}\ln x}{e^{2x}}\,dx = -\int x\,\ln x\,e^{-2x}\,dx,
u_2(x) = \int \frac{e^x\cdot e^{-x}\ln x}{e^{2x}}\,dx = \int \ln x\,e^{-2x}\,dx.]

Passo 4

Vamos calcular as duas integrais por partes e usar a função exponencial integral \mathrm{Ei}.
Para
I_2 = \int \ln x\,e^{-2x}\,dx
escolhemos u=\ln x, dv=e^{-2x}dx. Logo
I_2 = -\tfrac12 e^{-2x}\ln x + \tfrac12\int \frac{e^{-2x}}{x}\,dx = -\tfrac12 e^{-2x}\ln x + \tfrac12\,\mathrm{Ei}(-2x).
Para
I_1 = \int x\,\ln x\,e^{-2x}\,dx
fazemos primeiro \int x e^{-2x}dx = -\tfrac{e^{-2x}}{4}(2x+1) e depois outra partes com u=\ln x. O resultado é
I_1 = -\tfrac14 e^{-2x}\bigl[(2x+1)\ln x +1\bigr] + \tfrac14\,\mathrm{Ei}(-2x).

Passo 5

Agora montamos
y_p = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x) = -y_1(x)\,I_1 + y_2(x)\,I_2.
Substituindo e simplificando, chega-se a
y_p(x) = \frac{1}{4}\,e^{-x}\bigl(\ln x +1\bigr) + \frac{2x-1}{4}\,e^x\,\mathrm{Ei}(-2x).
Assim a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^x + C_2\,x e^x + \frac{1}{4}\,e^{-x}\bigl(\ln x +1\bigr) + \frac{2x-1}{4}\,e^x\,\mathrm{Ei}(-2x).

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(x) = C_1 e^x + C_2\,x e^x + \frac{1}{4}\,e^{-x}\bigl(\ln x +1\bigr) + \frac{2x-1}{4}\,e^x\,\mathrm{Ei}(-2x) }
e o intervalo de validade, devido a \ln x e \mathrm{Ei}(-2x), é
\boxed{x>0.}

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