Sabendo que y_{1}=x^{-1 / 2} \cos x e y_{2}=x^{-1 / 2} \operatorname{sen} x formam um conjunto fundamental de soluções para x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right) y=0 \mathrm{em}(0, \infty), encontre a solução geral para x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right) y=0 \mathrm{em}(0, \infty)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bessel de ordem 1/2
x^{2}y''+x\,y'+\Bigl(x^{2}-\tfrac14\Bigr)y=0,\quad x>0
e informa que
y_{1}(x)=x^{-\tfrac12}\cos x \quad\text{e}\quad y_{2}(x)=x^{-\tfrac12}\sin x
formam um conjunto fundamental de soluções. Para qualquer equação linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é dada pela combinação linear de duas soluções linearmente independentes.

Passo 2

Pelo princípio de superposição, a solução geral é
y(x)=C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\,x^{-\tfrac12}\cos x + C_{2}\,x^{-\tfrac12}\sin x.

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