Calcule as transformadas das funções descontínuas abaixo.
(c) f(t)=\mu_{\pi / 2}(t) \cos t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\displaystyle f(t)=\mu_{\pi/2}(t)\,\cos t,
onde \mu_{\pi/2}(t) é a função de Heaviside que vale 0 para t<\pi/2 e 1 para t\ge\pi/2.
O conteúdo que vamos usar é a definição da transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo (Heaviside).

Passo 2

Para aplicar o teorema do deslocamento, escrevemos \cos t em função de (t-\pi/2):
\cos t \;=\;\cos\Bigl((t-\tfrac\pi2)+\tfrac\pi2\Bigr) =\cos(t-\tfrac\pi2)\cos\tfrac\pi2 \;-\;\sin(t-\tfrac\pi2)\sin\tfrac\pi2.
Como \cos\tfrac\pi2=0 e \sin\tfrac\pi2=1, segue que
\cos t = -\sin\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).

Passo 3

Substituindo em f(t):
f(t)=\mu_{\pi/2}(t)\,\cos t =-\,\mu_{\pi/2}(t)\,\sin\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).
Pelo teorema do deslocamento, se g(t)=\sin t tem
\mathcal L\{\sin t\}=\frac{1}{s^2+1},
então
\mathcal L\{\mu_{\pi/2}(t)\,g(t-\tfrac\pi2)\} =e^{-\tfrac{\pi s}{2}}\;\frac{1}{s^2+1}.
Como há o sinal negativo, concluímos
\mathcal L\{f(t)\} =-\,e^{-\tfrac{\pi s}{2}}\;\frac{1}{s^2+1}.

Resposta

-\;\frac{e^{-\tfrac{\pi s}{2}}}{s^2+1}.

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