Um cilindro com raio da base r e altura h=2 r maximiza o volume em relação à área (ou seja, é um cilindro economicamente otimizado). Escreva as equações para
o volume do cilindro em função do raio
  1. V=\pi r^{2} h, S=2 \pi r^{2}+2 \pi r h

Passo 1

O enunciado fala de um cilindro de raio da base r e altura h=2r. Temos as fórmulas gerais
V=\pi r^{2}h
S=2\pi r^{2}+2\pi r\,h
e queremos expressar V e S apenas em função de r.

Passo 2

Substituímos h=2r na expressão do volume:
V(r)=\pi r^{2}\cdot(2r).

Passo 3

Fazendo a multiplicação, obtemos
V(r)=2\pi r^{3}.

Passo 4

Agora substituímos h=2r na expressão da área total:
S(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot(2r).

Passo 5

Calculando os termos, temos
S(r)=2\pi r^{2}+4\pi r^{2}=6\pi r^{2}.

Resposta

V(r)=2\pi r^{3}
S(r)=6\pi r^{2}

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