Calcule as transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{e^{-3 s}}{s^{2}+6 s+10}\right]

Passo 1

O enunciado pede \mathcal{L}^{-1}\bigl[\tfrac{e^{-3s}}{s^{2}+6s+10}\bigr]. Para resolver, vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do “shelf” de Heaviside) e completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Escrevemos
F(s)=\frac{e^{-3s}}{s^{2}+6s+10} =e^{-3s}\;G(s),
em que
G(s)=\frac{1}{s^{2}+6s+10}.
Pelo teorema do deslocamento, se \mathcal{L}^{-1}[G(s)]=g(t), então
\mathcal{L}^{-1}[e^{-3s}G(s)]=g(t-3)\,u(t-3).

Passo 3

Agora encontramos g(t)=\mathcal{L}^{-1}[G(s)]. Primeiro completamos o quadrado em s^{2}+6s+10:
s^{2}+6s+10=(s+3)^{2}+1.
Logo
G(s)=\frac{1}{(s+3)^{2}+1}.

Passo 4

Reconhecemos a transformada padrão
\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin(t)\}(s) =\frac{1}{(s+3)^{2}+1}.
Portanto
g(t)=e^{-3t}\sin(t).

Passo 5

Aplicando o deslocamento de 3 unidades no tempo, obtemos
f(t)=g(t-3)\,u(t-3) =e^{-3(t-3)}\sin(t-3)\,u(t-3).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{e^{-3s}}{s^{2}+6s+10}\Bigr] = e^{-3(t-3)}\sin(t-3)\,u(t-3).

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