Calcule as transformadas inversas:
(g) L^-11s^4-9

Passo 1

O exercício pede a transformada inversa de Laplace de 1s^4 - 9. O conteúdo aqui envolve decompor em frações parciais e usar fórmulas conhecidas de transformadas inversas para hiperbólicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
s^4 - 9 = (s^2 - 3)(s^2 + 3)

Passo 3

Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais:
1s^4 - 9 = As^2 - 3 + Bs^2 + 3

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (s^2 - 3)(s^2 + 3) e igualamos coeficientes:
1 = A(s^2 + 3) + B(s^2 - 3) = (A + B)s^2 + (3A - 3B)

Passo 5

Igualando coeficientes de s^2 e termos constantes, obtemos:
A + B = 0,
3A - 3B = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema, vem A = tfrac16 e B = -tfrac16. Agora escrevemos:
1s^4 - 9 = 1/6s^2 - 3 - 1/6s^2 + 3

Passo 7

Usamos as fórmulas de transformada inversa:
  • L^-11/(s^2 - a^2) = tfrac1asinh(at).
  • L^-11/(s^2 + b^2) = tfrac1bsin(bt).

Passo 8

Aplicando com a = raiz3 e b = raiz3, temos:
L^-11/(s^2 - 3) = tfrac1raiz3sinh(raiz3t),
L^-11/(s^2 + 3) = tfrac1raiz3sin(raiz3t) Multiplicando pelos coeficientes tfrac16 e -tfrac16, chegamos à resposta final.

Resposta

L^-11s^4 - 9 = 16raiz3l(sinh(raiz3t) - sin(raiz3t)r)

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