Use a Regra da Cadeia para determinar d vd t :
v=x ln (x+2 y), com x=sen(t) e y=cos (t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular dv/dt usando a Regra da Cadeia para v = x ln(x + 2y), onde x = sin t e y = cos t. Vamos aplicar o conceito de derivada de função composta, precisando achar as derivadas parciais de v em relação a x e y, e depois multiplicar pelas derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas parciais de v = x ln(x+2y). Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para ln:
partial vpartial x = 1 cdot ln(x+2y) + x cdot 1x+2y cdot 1 = ln(x+2y) + xx+2y,
$$\frac{\partial v}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{x+2y} \cdot 2 = \frac{2x}{x+2y}.
$$

Passo 3

Agora, derivamos x e y em relação a t:
dxdt = ddt(sin t) = cos t,
$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t.
$$

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
dvdt = partial vpartial x dxdt + partial vpartial y dydt Substituindo as derivadas parciais e dx/dt, dy/dt:
dvdt = l(ln(x+2y) + xx+2yr) cos t + 2xx+2y(-sin t)

Passo 5

Por fim, voltamos as expressões x = sin t e y = cos t, e definimos x+2y = sin t + 2cos t:
dvdt = cos t ln(sin t + 2cos t) + sin tsin t + 2cos t,cos t - 2sin tsin t + 2cos t,sin t Podemos agrupar as frações em uma só se quisermos, mas já temos a expressão geral de dv/dt.

Resposta

\displaystyle \frac{dv}{dt} = \cos t,\ln\bigl(\sin t + 2\cos t\bigr) + \frac{\sin t,\bigl(\cos t - 2\sin t\bigr)}{\sin t + 2\cos t}

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