Use a Regra da Cadeia para determinar
:
, com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a Regra da Cadeia para
, onde
e
. Vamos aplicar o conceito de derivada de função composta, precisando achar as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para
:
$$\frac{\partial v}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{x+2y} \cdot 2 = \frac{2x}{x+2y}.
$$
Passo 3
Agora, derivamos
e
em relação a
:
$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t.
$$
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 5
Por fim, voltamos as expressões
e
, e definimos
:
Resposta
\displaystyle \frac{dv}{dt} = \cos t,\ln\bigl(\sin t + 2\cos t\bigr) + \frac{\sin t,\bigl(\cos t - 2\sin t\bigr)}{\sin t + 2\cos t}