Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções abaixo:
(b) f(t)=e^2 t cos t

Passo 1

A questão pede a transformada de Laplace de f(t)=e^{2t}·cos t usando a definição integral. O conteúdo é Transformada de Laplace e vamos precisar da definição F(s)=∫0^∞f(t)e^-stdt e do cálculo de integrais do tipo ∫0^∞e^-atcos t,dt.

Passo 2

Pela definição,
F(s)=integral0^inftye^2tcos t;e^-st,dt
ao reunir os expoentes obtemos
F(s)=integral0^inftye^-(s-2)tcos t,dt

Passo 3

Chamando a=s-2 e definindo
I=integral0^inftye^-a tcos t,dte J=integral0^inftye^-a tsin t,dt,
aplicamos integração por partes em I:
I=l[-tfrac1ae^-a tcos tr]0^infty+tfrac1aintegral0^inftye^-a tsin t,dt=tfrac1a+tfrac1aJ,
e em J:
J=l[-tfrac1ae^-a tsin tr]0^infty+tfrac1aintegral0^inftye^-a tcos t,dt=tfrac1aI

Passo 4

Resolvendo o sistema
I=tfrac1a+tfrac1aJ, J=tfrac1aI,
chegamos a
I=aa^2+1

Passo 5

Substituindo a=s-2 em I obtemos
F(s)=s-2(s-2)^2+1,Re(s)>2

Resposta

F(s)=s-2(s-2)^2+1,Re(s)>2

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